Matematikbildning – Abstrahering som tänkandens viktigaste substans Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

Den svenska lyrikern - Erik Axel Karlfeldts dikter. 1963, s.141. Dina ögon äro eldar och min själ är beck och kåda. Vänd dig från mig, förr´n jag tändes som en mila innantill! En fiol jag är med världens alla visor i sin låda, Du kan bringa den att spela, hur du vill och vad du vill. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Matematikens visshet beror på dess totala abstrakt allmängiltighet Matematikens visshet beror på dess totala abstrakt allmängiltighet. Whitehead Alfred North Matematikbildning är en medborgerlig rättighet i den demokratiska uppfostran. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Det sker en ständig dialektisk utvecklingsprocess mellan tänkande och räknande i matematik; kritiskt granskande och instrumentella och samhällsbehovrelaterade kunskaper. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Samhällsbehovet kräver starka instrumentella kunskaper i matematik , vilket har ett negativt påverkan/försvagning på de intentioner som finns i styrdokumenten för den kritisk granskande och undersökande matematiken – helt enkelt den matematiska dannelsen. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Ju mer samhällets demokratiseras dessto svårare blir både undervisning och inlärning för den instrumentella matematiken. Det i sin natur kan tolkas av studerande som obegripliga och tvångsmässiga algoritmer! Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Matematiklärandet som en process skapar ständigt pedagogiska paradoxer Matematiklärandet som en process skapar ständigt pedagogiska paradoxer. Matematik är en speciell humanistisk vetenskap som generaliserar och skapar modeller. Genom att resonera sig fram kommer forskare eller studerande fram till lösningar och metoderna som sedan kan generaliseras till allmängiltiga räkneregler. Mekanisering Poängen är att dessa därefter kan användas för att lösa alla likartade problem mekaniskt. Alltså på ett resonerande tankesätt kan kraftfulla modeller skapas som mekaniserar räkningarna och som i sin tur kan skapa nya tankemönster som ger upphov till nya mekaniska procedurer. Det är viktigt att reflektera över denna paradoxala egenskap hos matematiken

Två paradoxer: 1. Den ena löses med en medvetenhet hos läraren, om maktobalansen och 2. den andra kräver också medvetenhet hos de studerande för att acceptera att både förståelse och mekanisering är viktiga och nödvändiga villkor i matematikinlärning – en utvecklande och krävande dialektisk inlärningsprocess. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Addera alla heltalen från och med 1 till och med 10 Ett exempel. Addera alla heltalen från och med 1 till och med 10 Addera alla heltalen från och med 1 till och med 100 Addera alla heltalen från och med 1 till och med 1000 Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

𝟏+𝟐+𝟑+𝟒+𝟓+𝟔+𝟕+𝟖+𝟗+𝟏𝟎 Alltså har vi 10/2 par, vars summa är lika med 11. Dvs. 𝟏𝟎 𝟐 ∙11=5∙11=55. 28.12.2018

Abstrahering - par Addera alla heltalen från och med 1 till och med 11! Vi abstraherade att Antal individer/2 = antal par . Här är 11/2 och parets värde 1+11=12 Summan = antal par gånger parets värde = 𝟏𝟏 𝟐 ∙12=11∙ 𝟏𝟐 𝟐 =11∙6=66. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Generalisering 1+2 +3 + ... +9 + 10 = 𝟏𝟎 𝟐 ∙11= 55 1+2 +3 + ... + 99+100 = 𝟏𝟎𝟎 𝟐 ∙101= 5050 1+2 +3 + ... + 999+1000 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐 ∙1001= 500500 Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Ännu mera/högre abstrahering och generalisering Första talet = t Andra talet = t +d = t + (2-1) d Tredje talet = t + 2d = t +(3-1) d ... n-te talet = t +(n-1)d = Alltså summan av serietal från och med första talet t till och med n-te talet är lika med 𝒏 𝟐 ∙(2t +(n-1)d ) Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

𝟏𝟑 𝟐 ∙50= 13∙25=250+75=325. Summan = Exempel Bestäm summan av följande talserie 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40 + 43 Summan = 𝟏𝟑 𝟐 ∙50= 13∙25=250+75=325. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Figuren har arean 39 kv.cm. Bestäm kvadratens sida. ? 28.12.2018

5 ? 5 cm   5 cm 39 + 25 = 64 alltså sidan är 8 cm 28.12.2018 .

5 cm   3cm Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Om vi väljer x som symbolisk representant för kvadratens sida så kan vi tolka geometi till algebra 5 x x2 5x 5x 28.12.2018 Alltså:

5 5 cm   𝑥 2 +10x+ 5 2 = 39+ 5 2 5 cm (𝑥+5) 2 = 64 28.12.2018 .

x = 3.

Svar 1: 𝑥+5=−8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=−13 Svar 2: 𝑥+5=8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=3. Generalisering Idag vet vi att −8 −8 =8∙8 Alltså Svar 1: 𝑥+5=−8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=−13 Svar 2: 𝑥+5=8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=3. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Generalisering Byter vi talet 5 och 39 mot andra tal, generellt väljs bokstäverna p og q, får vi en variant av Formel för andragradslikning: Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning 28.12.2018

Formel för andragradslikning 𝑝=−( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) og 𝑞=𝑥 1 ∙ 𝑥 2