 - formulera och värdera uppgifter och övningar i matematik utifrån matematiska begrepp och didaktiska perspektiv  - utforma och värdera olika typer av undervisningsmaterial utifrån matematiska begrepp och didaktiska perspektiv  - planera en undervisningssituation och motivera sina val utifrån matematiska begrepp, didaktiska perspektiv och skolans styrdokument  - lösa uppgifter i matematik och redovisa matematiska resonemang inför andra.  - identifiera och redogöra för syfte, frågeställning, teori, metod och resultat i en vetenskaplig text  - utifrån kvalitetskriterier inom matematikdidaktisk forskning värdera resultat av matematikdidaktiska studier. 2

 - Geometri: mätning, geometriska begrepp, klassificering, geometriska former, historia, mönster, teorier om lärande i geometri

 Davis, Andrew.; Goulding, Maria.; Suggate, Jennifer. Mathematical knowledge for primary teachers s ,  Burger, W. F; Shaughnessy, J. M. Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry  Alseth, Bjørnar; Nordberg, Gunnar; Solem, Ida Heiberg Tal och tanke : matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3 s  Kiselman, Christer O.; Mouwitz, Lars Matematiktermer för skolan 4

 Geometri var från 1878 liksom räkning ett eget ämne  1919 blev geometrin en del av matematikämnet

 Intuitiv uppfattning om naturligt förekommande geometriska begrepp t ex avstånd och symmetri  Geometriska mönster - dekoration - riter

 Praktisk geometri för beräkning av areor, volymer och vinklar.  Större byggnader, staka ut land, bygga bevattningsanläggningar, göra astronomiska observationer, osv.

 Geometri utvecklas parallellt med de stora flodkulturerna kring Nilen, Eufrat och Tigris, Indus och Ganges, samt Gula floden.  Egyptisk geometri 1850 – 1650 f kr  Babylonisk geometri 2000–1600 f Kr  Indisk geometri 500–200 f Kr  Kinesisk geometri Hanperioden (206 f Kr – 221 e Kr)

 Area och volymberäkningar av rektanglar, rätvinkliga trianglar, volymen av cylindrar och stympade pyramider.  Ungefärligt värde för π.  Pythagoras sats

 Ordet geometri är av grekiskt ursprung och är bildat av geo (jord) och metrein (mäta) = jordmätning

 Gemensamt för geometrin i ovannämnda kulturer är att den till största delen var empirisk  Kunskaperna var sammanfattade i enkla tumregler utan några försök att inordna dem under en större sammanhängande teori.

 En viktig vändpunkt i geometrins utveckling i Grekland på 500-talet f Kr.  Filosofen Thales från Miletos (ca 624–546) ställde frågan inte bara frågan ”Hur förhåller det sig?” utan även ”Varför förhåller det sig så?”.  Logiska argument för geometriska påståenden härleda några enkla påståenden ur andra.

 Den mest spridda boken västvärlden efter bibeln  Euklides ”upptäckte” inte geometrin, han sammanfattade, korrigerade och systematiserade tidigare kunskaper.  Normgivande lärobok under mer än 2000 år  Originaltexten är förlorad

 Primitiva begrepp = grundläggande tekniska termer  Definieras inte matematiskt med hjälp av andra termer.  Att definiera allting är omöjligt om man vill undvika cirkeldefinitioner.

1. En punkt är det som ej har någon del 2. En linje är en längd utan bredd 3. Ändarna på en linje är punkter 4. En rät linje är en linje som ligger jämnt med punkterna på sig själv. 5. En yta har längd och bredd med saknar tjocklek 6. osv…

 1. Om A = B och B = C så är A = C  2. Om A = B så är A + C = B + C  3. Om A = B så är A – C = B – C  4. Om A och B sammanfaller så är A = B  5. Om A är en del av B så är A < B  Aristoteles skilde mellan Axiom och Postulat men numera betyder de oftast samma sak.

Något man utgår från i teorin men inte bevisar 1. Mellan två punkter kan man dra en rät linje 2. En ändlig rät linje kan förlängas i en oändlig rät linje åt båda hållen 3. En cirkel kan ha vilket centrum och vilken radie som helst 4. Alla räta vinklar är lika och …

5. Om två linjer i planet skärs av en tredje linje och de inre vinklarna på samma sida är mindre än två räta vinklar kommer de två linjerna om de förlängs att skära varandra på den sida där de två inre vinklarna ligger Om l och m är parallella så är i euklidisk geometri alternatvinklarna α och β lika stora.

 Jo, man använder dessa för att bevisa matematiska påståenden  Varje ny sats härleds ur tidigare satser och/eller ur axiomen.  På så vis kan man visa att det gäller alla fall och inte bara de fall som man har provat det på.  I matematik räcker det inte med att mäta vinkelsumma i 4 trianglar och säga att vinkelsumman nog är 180 grader i en triangel, man måste visa att det gäller för alla trianglar.

 Under de första århundradena efter Kristus upphörde i stort sett studiet av högre geometri.  Vetenskapen levde kvar hos arabiska vetenskapsmän, som översatte och kopierade de grekiska klassikerna.  På 1100-talet gjordes den första latinska översättningen av Elementa från arabiska,  På och 1700-talen nådde geometrin den standard som den en gång haft.

 Upptäckten av icke-euklidisk geometri under 1800-talet.  Formella axiomsystem och abstrakta matematiska teorier utan direkt anknytning till verkligheten.  Euklidisk geometri utgår från att jorden är platt  Icke-euklidisk geometri arbetar med krökta ytor

 En definition är en redogörelse för begreppets betydelse. En god definition beskriver en bestämd klass av objekt och endast den.  Definitionens intention: anger begreppets mening eller betydelse  Definitionens extension: de objekt som sorterar under begreppet (Tall & Vinner, 1981)

 Definition: En fyrhörning med minst två parallella sidor. Extension?

 Definition: En fyrhörnig vars motstående sidor är parallella. Extension?

 Skillnad mellan nödvändiga och tillräckliga betingelser

 Tall och Vinner (1981) skiljer mellan Begreppsdefinitioner och Begreppsbilder

 Mer precist ett begrepps innebörd, motsvarar ungefär det som benämnts definitionens intention.  Kan vara en formell definition, men den kan också ha uppstått spontant och skilja sig från den formella definitionen.

 Medvetna eller omedvetna bilder och föreställningar vi alla har om de begrepp vi arbetar med.  Ex 1: att en triangel har spetsen uppåt.  Ex 2: En kvadrat och en rektangel är två olika geometriska former.

 Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. 29

 Punkt ◦ objekt med läge men utan utsträckning  Linje ◦ Endimensionellt geometriskt objekt ◦ Kan vara rät eller krökt ◦ Kan vara begränsad åt ett håll eller båda  Sträcka ◦ Linje (kurva) som är rak och begränsad åt båda hållen

 Längd är en storhet, dvs har en storlek och en dimension  Längd mäts i enheten meter med olika prefix

 Fyrhörningar ◦ ex. Rektangel, Kvadrat, Parallellogram, Parallelltrapets, Romb  Triangel ◦ ex. Likbent, Rätvinklig, Liksidig  Cirkel

Hörn Punkt där två sidor möts i en månghörning Kant? Fyrhörning med minst två parallella sidor Sida En av de sträckor som bygger upp en månghörning Parallelltrapets

Parallellogram där två närliggande sidor är lika långa Fyrhörning vars sidor är parvis parallella Parallellogram Romb

Rektangel Parallellogram vars alla vinklar är räta (Kiselman )

Kvadrat Rektangel med två närliggande sidor av samma längd (Kiselman)

Månghörning med tre hörn (Kiselman)

Spetsvinklig triangel Triangel där alla vinklar är spetsiga. Rätvinklig triangel Triangel där en av vinklarna är rät. Trubbvinklig triangel Triangel där en av vinklarna är trubbig.

Triangel där minst två av sidorna är lika långa

I en liksidig triangel är alla tre sidorna lika långa. AB = BC = AC Alla vinklar är också lika stora. ΛA = ΛB = ΛC = 60º

Kurva i planet som består av alla punkter som har ett givet avstånd (radien) till en fix punkt (medelpunkten)

 Sida  Hörn  Vinklar - Räta - Spetsiga - Trubbiga Vinkelsumma Area Omkrets Parallell Bas Höjd Liksidig Likbent

Synonym: perimeter Definition: Kurvans längd (hos en sluten kurva) Engelskan har två ord för omkrets:  Circumference för omkrets hos en cirkel  Perimeter för omkrets hos övriga 2- dimensionella objekt

 Yta = Area?  Yta beskriver en del av ett plan. Kan vara buktig eller plan.  Area är storleken hos en yta.  Fram till 1960-talet användes begreppen yta och area synonymt i läroböcker.  Area mäts i m 2

 Klot  Koner  Cylindrar  Rätblock

Definition: Kropp i rummet som består av alla punkter som har avstånd från en given punkt (klotets medelpunkt) högst lika med ett givet tal (klotets radie). (Kiselman) Klot

Kon Definition: mängd som består av strålar utgående från en given punkt (Kiselman)

”Ett prisma med två parallella cirkelformade basytor” Formell definition: Mängd i rummet som består av räta linjer parallella med en given rät Cylinder

Rätblock Kropp som begränsas av sex rektangelområden, varav två ofta kallas basytor och de övriga sidoytor. Prisma där alla begränsningsytorna är parvis parallella och alla vinklar räta.

Rätblock där alla kanter är lika långa. Kub

 Formell definition: Storleken hos en kropp  Kropp: tredimensionellt geometriskt objekt

 Vikt Kraften som drar ett objekt mot jorden Mäts i Newton Kan variera En fjädervåg mäter vikt  Massa – Mängden materia i ett objekt mäts i kilogram Alltid samma En balansvåg mäter massa Densitet = massa per volymenhet

 Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,  Använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp  Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter  Föra och följa matematiska resonemang  Använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser

 “Om eleverna får vara med och diskutera grunden för klassificeringen visar det sig att deras förmåga till matematiskt tänkande och argumentation utvecklas” (Shir & Zaslavsky 2001 i Solemn)

 Teori som beskriver hur elever resonerar kring geometriska former.  Eleverna når ”platåer” i sin geometriska förståelse som kallas nivåer eller ”levels”.  Många elever (och vuxna) stannar på nivå 1.  Lärare undervisar ofta på en högre nivå än elevens.  Utveckling från en nivå till nästa beror mer på undervisningen än elevens ålder

 Eleven kategoriserar former baserat på dess utseende och om det liknar de former eleven stött på tidigare.  Eleven känner igen en geometrisk figur som en helhet och tar ingen hänsyn till figurens delar.  Eleven kan till exempel känna igen en bild av en rektangel, men är inte medveten om några egenskaper hos den, som t.ex. att den har parallella sidor.  En rektangel blir en rektangel, för den ser ut som en låda.  En triangel som står på sin spets kan alltså klassas som ”icke-triangel”, en smal rektangel blir ”för smal”.

 Definitionerna är något som följer med formerna. En kvadrat har…  Eleven tar hänsyn till figurens delar ex. att motstående sidor hos en rektangel är parallella  Vet inte att en kvadrat kan ses som en rektangel eller som en romb

 Formerna följer med definitionen  Eleven använder abstrakta definitioner, kan ta bort onödiga definitioner.  Förstår att kvadrater är rektanglar, men även att det inte är tvärtom och kan förklara det med hjälp av definitioner.  Eleven kan logiskt ordna figurer, t.ex. att alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater.  Hon förstår de inbördes sambanden mellan figurer och inser vikten av korrekta definitioner.  Förstår inte deduktionens roll i geometrin

 Eleven förstår principen bakom axiom, bevis och satser.  Kan använda axiom för att bevisa påståenden om t.ex. rektanglar och trianglar, men tänkandet är i allmänhet inte så precist att hon förstår nödvändigheten av axiom  Definitioner och postulat uppfattas som allmängiltiga, och kan därför inte tänka sig en icke-euklidisk geometri

 Eleven kan studera olika geometriska system med olika axiom, även utan att ha (fysiska) modeller att titta på.  Eleven förstår vikten av precision, när man arbetar med geometrins grunder,  Kan t.ex. också analysera och jämföra euklidisk och icke-euklidisk geometri

Identifiera rektanglar och deras egenskaper. Vilken av van Hieles nivåer? Bonnier Mina första matte-ord

”En fyrhörning med bara räta vinklar. Motstående sidor är lika långa.” Formell definition: Parallellogram vars alla vinklar är räta. Alt. Fyrhörning med parvis parallella sidor. NoK Pixel 2

Linje, stråle och sträcka NoK Eldorado 3B Linje: En linje har ingen Ändpunkt Formell definition: Stråle: Linje som är rak och begränsad åt ett håll Formell definition: Sträcka: Linje med en början och ett slut

 Kub  Pyramid  Rätblock  Sidoytor  Hörn  Kanter NoK Pixel 2

Korrekta begrepp Tredimensionella figurer NoK Eldorado 3A