Matematikbildning – Abstrahering som tänkandens viktigaste substans

En presentation över ämnet: "Matematikbildning – Abstrahering som tänkandens viktigaste substans"— Presentationens avskrift:

1 Matematikbildning – Abstrahering som tänkandens viktigaste substans
Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

2 Den svenska lyrikern - Erik Axel Karlfeldts dikter. 1963, s.141.
Dina ögon äro eldar och min själ är beck och kåda. Vänd dig från mig, förr´n jag tändes som en mila innantill! En fiol jag är med världens alla visor i sin låda, Du kan bringa den att spela, hur du vill och vad du vill. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

3 Matematikens visshet beror på dess totala abstrakt allmängiltighet
Matematikens visshet beror på dess totala abstrakt allmängiltighet Whitehead Alfred North Matematikbildning är en medborgerlig rättighet i den demokratiska uppfostran. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

4 Det sker en ständig dialektisk utvecklingsprocess mellan
tänkande och räknande i matematik; kritiskt granskande och instrumentella och samhällsbehovrelaterade kunskaper. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

5 Samhällsbehovet kräver starka instrumentella kunskaper i matematik , vilket har ett negativt påverkan/försvagning på de intentioner som finns i styrdokumenten för den kritisk granskande och undersökande matematiken – helt enkelt den matematiska dannelsen. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

6 Ju mer samhällets demokratiseras dessto svårare blir både undervisning och inlärning för den instrumentella matematiken. Det i sin natur kan tolkas av studerande som obegripliga och tvångsmässiga algoritmer! Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

7 Matematiklärandet som en process skapar ständigt pedagogiska paradoxer
Matematiklärandet som en process skapar ständigt pedagogiska paradoxer. Matematik är en speciell humanistisk vetenskap som generaliserar och skapar modeller. Genom att resonera sig fram kommer forskare eller studerande fram till lösningar och metoderna som sedan kan generaliseras till allmängiltiga räkneregler. Mekanisering Poängen är att dessa därefter kan användas för att lösa alla likartade problem mekaniskt. Alltså på ett resonerande tankesätt kan kraftfulla modeller skapas som mekaniserar räkningarna och som i sin tur kan skapa nya tankemönster som ger upphov till nya mekaniska procedurer. Det är viktigt att reflektera över denna paradoxala egenskap hos matematiken

8 Två paradoxer: 1. Den ena löses med en medvetenhet hos läraren, om maktobalansen och 2. den andra kräver också medvetenhet hos de studerande för att acceptera att både förståelse och mekanisering är viktiga och nödvändiga villkor i matematikinlärning – en utvecklande och krävande dialektisk inlärningsprocess. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

9 Addera alla heltalen från och med 1 till och med 10
Ett exempel. Addera alla heltalen från och med 1 till och med 10 Addera alla heltalen från och med 1 till och med 100 Addera alla heltalen från och med 1 till och med 1000 Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

10 𝟏+𝟐+𝟑+𝟒+𝟓+𝟔+𝟕+𝟖+𝟗+𝟏𝟎 Alltså har vi 10/2 par, vars summa är lika med 11. Dvs. 𝟏𝟎 𝟐 ∙11=5∙11=55.

11 Abstrahering - par Addera alla heltalen från och med 1 till och med 11! Vi abstraherade att Antal individer/2 = antal par . Här är 11/2 och parets värde 1+11=12 Summan = antal par gånger parets värde = 𝟏𝟏 𝟐 ∙12=11∙ 𝟏𝟐 𝟐 =11∙6=66. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

12 Generalisering = 𝟏𝟎 𝟐 ∙11= = 𝟏𝟎𝟎 𝟐 ∙101= = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐 ∙1001= Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

13 Ännu mera/högre abstrahering och generalisering
Första talet = t Andra talet = t +d = t + (2-1) d Tredje talet = t + 2d = t +(3-1) d ... n-te talet = t +(n-1)d = Alltså summan av serietal från och med första talet t till och med n-te talet är lika med 𝒏 𝟐 ∙(2t +(n-1)d ) Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

14 𝟏𝟑 𝟐 ∙50= 13∙25=250+75=325. Summan = Exempel
Bestäm summan av följande talserie Summan = 𝟏𝟑 𝟐 ∙50= 13∙25=250+75=325. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

15 Figuren har arean 39 kv.cm. Bestäm kvadratens sida.
?

16 5 ? 5 cm 5 cm = 64 alltså sidan är 8 cm .

17 5 cm 3cm Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

18 Om vi väljer x som symbolisk representant för kvadratens sida så kan vi tolka geometi till algebra
5 x x2 5x 5x Alltså:

19 5 5 cm 𝑥 2 +10x+ 5 2 = 5 cm (𝑥+5) 2 = 64 .

20 x = 3.

21 Svar 1: 𝑥+5=−8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=−13 Svar 2: 𝑥+5=8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=3.
Generalisering Idag vet vi att −8 −8 =8∙8 Alltså Svar 1: 𝑥+5=−8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=−13 Svar 2: 𝑥+5=8. 𝐻ä𝑟𝑎𝑣 ℎ𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑥=3. Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

22 Generalisering Byter vi talet 5 och 39 mot andra tal, generellt väljs bokstäverna p og q, får vi en variant av Formel för andragradslikning: Russell Hatami| Avdeling for lærerutdanning

23 Formel för andragradslikning
𝑝=−( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) og 𝑞=𝑥 1 ∙ 𝑥 2