”Algebra är Människiornes Förstånds helige Pröfwosteen så at then som thenna Konst wäl förståår kan sig försäkra at intet skall förekomma thet han icke förstå kan.” (ur bok från 1600-talet)

Problemlösning Generaliserad aritmetik Problemlösning Studera relationer Generaliserad aritmetik Lgr11, år 1-3 om algebra:  Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse  Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Lgr11, år 4-6 om algebra:  Obekanta tal och deras egenskaper …  Enkla algebraiska uttryck och ekvationer …  Metoder för enkel ekvationslösning  Hur mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas

 Viktig förberedelse för mer avancerad problemlösning  Verktyg för att underlätta beräkningar  Och jo, man har nytta av algebra, men ofta arbetar vi med retorisk algebra utan symboler!

 De hade en ”retorisk algebra”, algebra uttryckt med ord – på sin höjd med ordförkortningar  Algebran hade en väldigt stark praktisk koppling: ◦ Om det fanns två obekanta kallades de för ”längd” och ”bredd”, produkten för ”area”. ◦ Fanns det tre obekanta kallades de för ”längd”, ”bredd” och ”höjd”, produkten för ”volym”.  Retorisk algebra användes sedan av såväl kineser som egyptier.

 Algebran utvecklas av grekerna till ”synkoperad algebra”, där man använde ord för att lösa uppgiften, men med speciella symboler för att minska ned på antalet ord.

 Den arabiske matematikern (och poeten) Omar Khayyam (ca ) definierade till slut en klar gräns mellan aritmetik och algebra: ◦ ”bruket av ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av polynom” ◦ (polynom = bokstavsbeteckning för variabel som kan ha potenser)  Därigenom skapades den symboliska algebran

 Under renässansen ( ) lyckades italienska matematiker lösa ännu flera typer av ekvationer och började ersätta retoriska lösningar med lösningar med förkortningar.  Francois Viete ( ) använde vokaler för att beteckna okända tal och konsonanter för kända storheter.  Descartes ( ) använde bokstäver i början av alfabetet för kända storheter och bokstäver i slutet för okända tal.

 Senaste stora steget togs på 1800-talet då den Booleska algebran utvecklades som en del av logiken.  Den ansågs ”oanvändbar” i nästan etthundra år, innan man insåg nyttan vid konstruktion av digitala kretsar.  Ingår numera som en viktig del inte bara i matematik- och fysikkurser utan även i filosofi.  Sker forskning på algebraiska strukturer, t.ex. Lie-algebror som har stor tillämpning inom fysiken.

 Fyra aspekter: ◦ Verktyg för problemlösning  Symbolen betecknar ett obekant tal eller en konstant  Handlar om att lösa och förenkla ◦ Generaliserad aritmetik  Symbolen används för att beskriva mönster  Handlar om att översätta och generalisera ◦ Studera relationer  Symbolen betecknar en variabel eller parameter  Handlar om att relatera (t.ex. genom en graf) ◦ Studera strukturer (ej så mycket i grundskola/gymnasiet)

 Exempel: Heltalen ℤ är en kropp, så är även de rationella talen ℚ och de reella talen ℝ, men det finns även andra kroppar. Kan vi visa att något gäller för alla kroppar så måste det t.ex. även gälla för heltalen (utan att vi ens har nämnt heltal någonstans i vårt bevis).  Symbolerna betecknar godtyckliga element

 Framhäver olika aspekter och beror på abstraktionsförmåga ◦ Fysiskt (arbeta med konkreta objekt)  Fördela 14 kulor i tre lika stora högar ◦ Bilder (antingen bilder av föremål eller tänkta bilder) ◦ Verbalt (retoriskt)  Beskriv med ord hur du tänker ◦ Numeriskt  Gör sifferexempel (kvantitativt) ◦ Symboliskt  Med algebraiska symboler (manipulativt)  OBS! Detta är hur kurslitteraturen ser på det!

 Behöver absolut inte vara identisk information! ◦ Ibland tappar vi information ◦ Ibland får vi mer information  Den som är flexibel mellan olika uttrycksformer kan lättare lösa sammansatta matematiska problem!

 Vilken är kvadraten, som när den ökas med tio stycken av sina rötter är lika med trettionio? (x 2 +10x=39)  Halvera antalet rötter, vilket i detta fall är lika med fem. Multiplicera detta med sig själv; produkten är tjugofem. Addera till detta trettionio; summan är sextiofyra. Tag roten ur detta, vilket är åtta, och subtrahera från det halva talet rötter, vilket är fem; resten är tre. Detta är den sökta roten till kvadraten.

 En matematisk utsaga som innehåller en likhet.  En ekvation innehåller ofta en eller flera obekanta som vanligtvis betecknas med x, y, eller z.  En lösning till en ekvation är ett eller flera tal som gör att det vänstra ledet (VL) är lika med högra ledet (HL).

 = 5 (variabeln syns inte och kan anta vilket värde som helst)  a + b = b + a  8x – 13 = 3  7x – y = 14  x 2 – 3x + 2 = 0  Obs! Antalet lösningar kan vara noll, en, två eller flera!

 Symbolen ”=” markerar att VL och HL är exakt lika.  Detta är den enda korrekta innebörden!  En vanlig metafor är balansvågen. Här är ett exempel ur en lärobok för åk 3.

 Det är vanligt att likhetstecknet (helt felaktigt) får symbolisera andra saker, exempelvis:  = (blir) 5, någonting ”händer” = är en ”operator” 100 % = 300 kr 50 % = 150 kr Använd istället ordet ”motsvarar” eller : 25 % = 75 kr  Olika steg i en uträkning = = = Så här får du som lärare aldrig redovisa lösningar. Var noga med hur du använder likhetstecknet. Tänk igenom dina redovisningar i förväg.

 Notera även vilka uttrycksformer som förekommer. (här är det handen som symboliserar det obekanta)

 Många av er har säkert lärt er ekvationslösning genom att: ”flytta på andra sidan likamed och byt tecken”.  Skapar det en förståelse för vad man egentligen gör?  Balansvågsmetaforen skapar förståelse, sedan när man förstått, då är man redo att lära sig genvägarna och förenklingarna.  Alltså: Lyckas ni få eleven att förstå vad likhetstecknet verkligen betyder, blir ekvationslösning rätt enkelt!

 Tänk på prioriteringsreglerna och att vi räknar baklänges ◦ Vi ska ju hitta vilket tal som ger oss ”rätt” beräkning  Förenkla  Manipulera båda sidor  Förenkla igen  Manipulera båda sidor  O.s.v.

 I fas ett skall eleven översätta ett problem, oftast formulerat med vanlig text och ibland en bild, till ett matematiskt symboluttryck i form av en ekvation.

I fas två bearbetas, manipuleras, skrivs om och löses ekvationen. I fasen tre tolkar eleven svaret tillbaka till det ursprungliga problemet eller sammanhanget.

 Barn och algebra  Symbolisk/Retorisk algebra  Vad är skolalgebra? ◦ Algebra som problemlösningsverktyg ◦ Algebra för att studera relationer ◦ Algebra som generaliserad aritmetik ◦ Algebra för att studera strukturer  Olika uttrycksformer och att växla mellan uttrycksformer  Ekvationer och ekvationslösning ◦ Balansvåg, ”att lasta en kamel med elefanter”  Likhetstecknets betydelse  ”Algebraiska cykeln”