Kap 1 - Algebra och funktioner

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och funktioner"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och funktioner

2 1.1 Algebra och polynom

3 POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

4 Algebra och funktioner

5 y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Terminologi +2,15 är en konstantterm
+2,1x och -0,41x2 är variabeltermer talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

6 Potenslagarna SE FORMELBLADET!

7 Definitioner ETT GENOM

8 Definitioner

9 Definitioner

10 Definitioner

11 Definitioner

12 Lagar för kvadratrötter

13 Lagar för kvadratrötter

14 Absolutbelopp Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen. Källa:

15 Absolutbelopp

16 Absolutbelopp

17 Absolutbelopp, ett exempel

18 Absolutbelopp, ett exempel

19 Andragradsekvationer
Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

20 Andragradsekvationer
Symmetrilinje Minimipunkt

21 Uppgift 1101 & 1102

22 a och b är polynomets nollställen
Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

23 Andragradspolynom

24 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

25 Andragradspolynom Nollställen

26 Andragradspolynom Funktionen heter:

27 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

28 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

29 ARBETA NEDÅT! Räkning med polynom (8 + 2x) + (3 – 4x) =

30 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Kvadreringsreglerna
1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

31 (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9
Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 (2x)2 –32 = 4x2 - 9

32 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

33 1.2 Rationella uttryck

34 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

35 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

36 TALMÄNGDER

37 Rationella uttryck

38 Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

39 Rationella uttryck Testa!
För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

40 Förlängning

41 Förkortning

42 Enklaste form

43 Förlängning, exempel

44 Förlängning, exempel

45 Enklaste form, exempel

46 Enklaste form, exempel

47 Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

48 Varning!! OBS!!

49 Varning!! VARFÖR!

50 Varning!!

51 Bryt ut (-1)

52 Bryt ut -1

53 1.3 Funktioner

54 Funktioner

55 Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

56 Räta linjens ekvation

57 Räta linjens ekvation m = 1

58 Räta linjens ekvation m = 6

59 Räta linjens ekvation

60 Räta linjens ekvation

61 Räta linjens ekvation

62 Andragradsekvationer

63 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

64 Buskar på rad Y = 5x + 3

65 Buskar på rad Y = 5x + 3

66 Buskar på rad Y = 5x + 3

67 Andragradsekvationer
Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

68 Andragradsekvationer
NOLLSTÄLLEN

69 Andragradsekvationer
Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

70 Andragradsekvationer
Symmetrilinje Minimipunkt

71 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

72 Logaritmer ”2 är 10-logaritmen för 100”

73 Logaritmer ”3 är 10-logaritmen för 1000”

74 Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

75 Logaritmer Enligt räknaren…

76 Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 76

77 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

78 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

79 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

80 Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

81 Logariter – ett exempel

82 Logariter – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,

83 Logariter – samma sak?

84 Logariter – NEJ!

85 Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 85

86 Exponetialfunktioner & potensfunktioner

87 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år

88 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

89 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

90 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

91 Exponentialfunktioner

92 Exponentialfunktioner

93 Exponentialfunktioner

94 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

95 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

96 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

97 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

98 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

99 Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år.
Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

100 Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

101 Sätt namn på grafen

102 Sätt namn på grafen

103 Kan du det här? 1 (s. 64)

104 Kan du det här? 1 (s. 64)

105 Kan du det här? 1 (s. 64)

106 VAD HETER FUNKTIONEN? F(x) = (x - 3)(x + 2)

107 VAD HETER FUNKTIONEN? f(x)=(x+2)(x-3)  f(x)=x²-3x+2x-6  f(x)=x²-x-6

108 VAD HETER FUNKTIONEN? y=-x^2-x+6

109 VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!!
y=-x^2-x+6 Testa!! [ Länk till DESMOS ]

110 VAD HETER FUNKTIONERNA?
y=-x^2-x+6

111 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

112 Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då:

113 Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1, … Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

114 Befolkningsproblem C är ”startvärde” a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

115 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

116 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

117 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

118 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

119 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

120 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

121 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

122 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

123 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

124 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

125 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

126 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1