Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

En presentation över ämnet: "Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator"— Presentationens avskrift:

1 Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

2 GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata

3 HASTIGHET Vad menas med begreppet hastighet? Ex. 80 km/h

4 HASTIGHET Jämför med Räta linjens k-värde!!

5 Ändringskvot Förändring i y-led Ändringskvot Förändring i x-led

6 Ändringskvot Var har du sett detta förr?

7 Ändringskvot

8 Ändringskvot

9 LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

10 LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

11 m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

12 RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens derivata k = linjens lutning

13 DERIVATAN En introduktion

14 Begreppet derivata (x + h)

15 Begreppet derivata

16 KURVORS LUTNING VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???
Negativ - Positiv + Positiv + Lutning = 0 VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???

17 Begreppet derivata

18 Lutning – en animering Klicka på bilden.

19 Derivative Tracer (GeoBra)

20 Derivatans definition Deriveringsregler
GENOMGÅNG 2.2 Gränsvärde Derivatans definition Deriveringsregler

21 Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.

22 Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent

23 Begreppet derivata

24 Begreppet derivata

25 Begreppet derivata DERIVATANS DEFINITION

26 Derivatans definition
Boken sidan 81

27 Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.

28 Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent

29 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret? Var hittar du detta i formelbladet?

30 Deriveringsregler, exempel
Vad hände med ?

31 Derivatan av en konstant
DESMOS - [ y = 4 ]

32 Kurva med derivata

33 Kurva med derivata Vid vilka värden på x är kurvans lutning
lika med noll? Kurvans funktion är: Kurvans derivata är: Vi sätter derivatan lika med noll:

34 Kurva med derivata Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?

35 Kurva med derivata Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1
Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter? Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Extrempunkternas koordinater:

36 Deriveringsregler, exempel

37 DESMOS Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4

38 GENOMGÅNG 2.3 Deriveringsregler 1

39 Växande och avtagande

40 Funktion

41 Derivata

42 Funktion och derivata

43 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

44 Deriveringsregler x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x x-2 (-1*x-2) x x-3 x x-4 x x-5 x x-6 xn nxn-1

45 Vi deriverar…

46 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

47 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

48 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

49 Vi deriverar…

50 Vi deriverar… OBS!

51 Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift 2332, sid 95 Matematik 3c-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

52 Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift 2332, sid 95 Matematik 3c-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

53 Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken Bestäm f´(x) om

54 Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken Bestäm f´(x) om

55 Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken ?

56 Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken ?

57 GENOMGÅNG 2.4 Deriveringsregler 2

58 Uppgift 2130 A (1,2)

59 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

60 Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1

61 Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x x-2 (-1*x-2) x x-3 x x-4 x x-5 x x-6 xa axa-1

62 Vi deriverar…(Repetition)
Uppgift 2332, sid 98 Matematik 3bc-boken Beräkna f´(2) (2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

63 Hur ser derivatan ut?

64 Hur ser derivatan ut?

65 Deriveringsregler

66 Vi deriverar…

67 Derivatan av funktionen y = ax

68 Derivatan av funktionen y = ax
Uppgift 2436, Sid 107 Matematik 3bc-boken

69 ln e Vad visar din räknare om du slår in

70 ln e & lg 10

71 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

72 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

73 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

74

75 Naturliga logaritmer

76 Logaritmlagar

77 Logaritmer ett exempel
Uppgift 2419, sid 105 Matematik 3bc-boken

78 GENOMGÅNG 2.5 2.5 Grafisk och numerisk derivering

79 ln e & lg 10 (rep.)

80 Uppgift 2130 (rep.) A (1,2)

81 Hur ser derivatan ut? (rep.)

82 Hur ser derivatan ut? (rep.)

83 Grafisk och numerisk derivering
Sid 113 Matematik 3bc-boken

84 Grafisk och numerisk derivering

85 Grafisk och numerisk derivering

86 Grafisk och numerisk derivering

87 Grafisk och numerisk derivering
Sid 113 Matematik 3c-boken

88 Vi kontrollerar…

89 Grafisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Tryck [2ND] + CALC Svar:

90 Numerisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Svar:

91 Derivering med räknarens inbyggda funktion
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 nDeriv(3x*0,7^x,x,2) Mata in värden enligt nedan Tryck <Enter> Svar:

92 Derivering med räknarens inbyggda funktion TI-82, Äldre TI-84 etc.
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 Mata in värden enligt nedan nDeriv(3X*0,7^X,X,2) Tryck <Enter> Svar:

93 Vi jämför…