Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

En presentation över ämnet: "Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller"— Presentationens avskrift:

1 Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

2 Algebra och icke-linjära modeller
2.1 Polynom 2.2 Andragradsekvationer 2.3 Andragradsfunktioner 2.4 Potenser och potensekvationer 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer

3 GENOMGÅNG 2.1

4 POLYNOM Ett polynom är en summa av termer konstant koefficient
variabel

5 DEFINITIONER ”ett genom” Exempel:

6 POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

7 POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

8 POTENSLAGARNA

9 POTENSLAGARNA

10 POTENSLAGARNA

11 POTENSLAGARNA

12 VÄRDET AV ETT POLYNOM

13 PARENTESREGLERNA En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen.

14 ADDITION AV POLYNOM

15 SUBTRAKTION AV POLYNOM

16 FÖRSTA KVADRERINGSREGELN

17 FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
OBS! OBS!

18 ANDRA KVADRERINGSREGELN

19 ANDRA KVADRERINGSREGELN

20 KONJUGATREGELN

21 KONJUGATREGELN

22 Multiplikation av polynom

23 Faktorisering av polynom
Bryt ut faktorn x ur följande polynom:

24 Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

25 Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

26 GENOMGÅNG 2.2 2.2 Andragradsekvationer

27 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Linjär funktion Andragradsfunktion Y = 2x - 3 Y = x2 - 3 Denna kan man även kalla ”förstagradsfunktion” En andragradskurva kallas även för parabel

28 ANDRAGRADSEKVATIONER
-X +X Symmetrilinje

29 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

30 ANDRAGRADSEKVATIONER
NOLLSTÄLLEN

31 ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt

32 ANDRAGRADSEKVATIONER
Sidan 99 i Matematik bc VUX-boken

33 ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

34 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

35 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen

36 GENOMGÅNG 2.3 2.3 Andragradsfunktioner

37 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

38 ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

39 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

40 ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt

41 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114

42 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114

43 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115

44 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115

45 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Hur vet vi det? Matematik 2bc VUX – boken, sid 115

46 ANDRAGRADSFUNKTIONER
b) (2,0) och (6,0) c) x = 2 och x = 6 d) x = 4 e) x = 4 Matematik 2bc VUX – boken, sid 116

47 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

48 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

49 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

50 GENOMGÅNG 2.4 2.4 Potenser och potensekvationer 50

51 Roten ur

52 Potensekvationer

53 Ekvationen xn = a

54 Ekvationen xn = a

55 OBS!

56 OBS! 5^(1/2) = 2, 5^(1/3) = 1, 5^(1/4) = 1,

57 GENOMGÅNG 2.5 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer 57

58 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år (antal upprepningar)

59 Vi gör egna ränteuppgifter
Swedbank

60

61 Exponentialfunktioner
Dela ut! C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden

62 Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

63 Logaritmer Enligt räknaren…

64 Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 64

65 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

66 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

67 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

68 Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

69 Logariter – ett exempel

70 Logariter – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,

71 Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 71