Fysikexperiment 5p Föreläsning Utdrag ur Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2004 Allmänna anpassningar enligt ”Maximum Likelihood” metoden.* ) Många gånger tror vi att det finns ett funktionssamband mellan två mätta variabler som beror av någon eller några parametrar som vi vill bestämma. Ett exempel är fallhöjden som funktion av tiden i ett försök för att bestämma tyngdaccelerationen g: Antag rent allmänt att vi har ett funktionssamband y = f(x) där y beror av x på ett sätt som kan pararametriseras med hjälp av av tre konstanter a, b och c, dvs y = f(x;a,b,c) och vill bestämma parametrarna genom att jämföra med ett antal mätningar. Vi antar som tidigare att vid ett givet värde på x i så är mätningarna y i normalfördelade kring det sanna värdet f(x i ) med en spridning som ges av  i. Om mätningarna vid olika x kan antas vara oberoende av varandra så är sannolikheten för att erhålla en given serie mätningar y i proportionell mot: Enligt ”Maximum Likelihood” metoden så antar vi att det faktiska utfallet av mätningen motsvarar det mest sannolika resultatet. För att bestämma de värden på parametrarna a, b och c som maximerar uttrycket för sannolikheten för mätserien deriverar vi uttrycket med avseende på parametrarna och sätter derivatan till 0 som vanligt. Låt oss ta ett enkelt exempel: vi antar att det råder ett linjärt samband mellan x och y: y = a + bx och att vi har en serie mätningar av y i vid variabelvärdet x i. Antag att våra mätta y i sprids kring de ”sanna” värdena a + bx i med en gemensam standardavvikelse För sannolikheten för en mätserie får vi då: Vi deriverar med avseende på de två parametrarna a och b: * ) Maximum likelihood estimation begins with writing a mathematical expression known as the Likelihood Function of the sample data. Loosely speaking, the likelihood of a set of data is the probability of obtaining that particular set of data, given the chosen probability distribution model. This expression contains the unknown model parameters. The values of these parameters that maximize the sample likelihood are known as the Maximum Likelihood Estimatesor MLE's.

Föreläsning 4 Fysikexperiment 5p Utdrag ur Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2004 Sätt dessa uttryck lika med varandra, vi får Maximum Likelihood principen låter oss även uppskatta  y från de mätta punkterna I formeln ovan ingår de teoretiska värdena på a och b. Vanligtvis beräknas dessa utifrån det experimentella materialen (som visats ovan) och formeln modifieras till (se läroboken kap. 8.3). Minsta kvadratanpassningen till en rät linje låter oss alltså uppskatta felen i de enskilda mätningar- na - under förutsättning att de är lika stora i alla mätningar, vilket ofta är ett rimligt antagande. Vi önskar också naturligtvis kunna uppskatta osäkerheten i de bestämda parametrarna a och b, detta görs genom att använda felpropageringsformeln på uttrycken ovan för att propagera felen i y,  y, till  a och  b :  b beräknas på motsvarande sätt och vi får sammanfattningsvis:

Fysikexperiment 5p Föreläsning Utdrag ur Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2004 Det kommer emellertid att uppstå en mängd situationer där vi vill anpassa data som inte har samma fel i alla punkter. För att se hur detta går till måste vi börja med ett uttryck för sannolikheten för vår mätserie som innehåller individuella mätfel: Räkningarna underlättas om vi inför viktenvilket ger:

Experimentalteknik 5p Föreläsning Utdrag ur Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2004 Skriftliga rapporter Innehåll En skriftlig rapport kan delas in i följande avsnitt: Titel och författarinformation †Sammanfattning (”Abstract”) †Innehållsförteckning †Förord Inledning Beskrivning av uppställning och utförande Redovisning av data och analys Diskussion och slutsatser †Referenser †Bilagor De avsnitt som markerats med är de som bör vara med i varje skriftlig redovisning. De avsnitt som markerats med † är de som används i längre rapporter som skall publiceras för en större publik men som normalt inte ingår i laborationsrapporter. Dock kan det vara befogat att ta med vissa av dessa i särskilt långa rapporter, som till exempel för en projektlab. Titel Rapportens titel skall vara tydlig - en ”mini-sammanfattning” av rapporten. Titeln skall hjälpa de som ser rapporten - eller kanske bara läser rapportens titel i en lång lista av olika rapporter - att avgöra om rapporten är något som bör läsas eller inte (om en rapport är av intresse eller inte avgörs i det här sammanhanget inte av kvaliteten i sig, utan av om den handlar om något som intresserar den potentielle läsaren). För era laborationsrapporter är laborationens namn ett naturligt val. I anslutning till titeln skall en del övrig information finnas som till exempel: Namn på författaren. För rapporter som skall publiceras skall författarens institution (skola, företag….) finnas angivet, med kontaktinformation. Här på fysikum är kurstillhörighet lämplig info. Datum då rapporten skrevs/lämnades in. För längre rapporter kan titelinformationen läggas in på en speciell titelsida som bara innehåller titelinformation och eventuell sammanfattning. För kortare rapporter lämnad den informationen högst upp på första sidan. Sammanfattning Sammanfattningen skall vara just detta: en kort och koncis sammanfattning av det som står rapporten. Ingenting som inte står i rapporten får läggas till. Sammanfattningen skall kort ange vad som mätts, hur och vilka resultat som uppnåtts och vad man kan dra för slutsatser av detta. Inga figurer eller tabeller. En riktlinje kan vara att försöka hålla sig till ord (för längre rapporter): Physical Review Letters 71(1996) p 438

Föreläsning 4 Experimentalteknik 5p Utdrag ur Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2004 Innehållsförteckning En rapport behöver bara ha en innehållsförteckning om den är rejält lång ca 25 sidor eller mer. Den skall då hjälpa läsaren att hitta relevanta avsnitt med hjälp av en tydlig disposition och sidnumrering. Förord Förord är ganska sällsynta i vetenskapliga rapporter. Här kan man ange bakgrunden till rapporten, i vilket sammanhang den är författad och för vilken tänkt läsekrets. Här kan man också avtacka personer som antingen finansierat undersökningen eller på annat sätt hjälpt till med att få den gjord. Inledning Inledningen skall introducera problemställningen och ge en bakgrund. Vad skall mätas, vad skall det leda fram till. Formler som används härleds lämpligen här. Beskrivning av uppställning och utförande Den mest omfattande delen av rapporten. För längre rapporter bör detta avsnitt delas upp med underrubriker, till exempel: Experimentell uppställning. Använd gärna en figur, men i så fall scheman och stiliserade figurer, inte teckningar av uppställningen. Utförande av mätningen. Resultat, rådata och bearbetade data med felkalkyl. I era laborationsrapporter måste rådata och samtliga mellanled i beräkningarna redovisas. Felkalkylen skall beskrivas, och ni skall ange vilken formel ni använt för att beräkna fel - alltså inte den allmänna felforplantningsformeln, utan den formel som gäller i just ert fall. Diskussion och slutsatser Här diskuteras de uppnådda resultaten och jämförs med förväntningarna. Om rapporten till exempel beskriver ett antal mätningar av samma storhet med olika metoder, som ofta är fallet vi laborationer, jämför man metoderna och de resultat de leder till. Vill man jämföra sina resultat med teoretiskt förväntade värden så är det här rätta platsen, liksom om man vill jämföra sina resultat med andra mätningar / experiment Referenser Här anges de källor man använt sig av för sitt arbete och som refereras till i texten. I normala laborationsrapporter behöver man inte hänvisa till exempel till ”Physics Handbook” för tabell- värden för konstanter mm. Om man däremot hänvisar till andras resultat bör man referera till dessa. Det skall inte finnas ”svepande, allmänna” referenser, till t ex läroboken i mekanik. I forskningsrapporter är det oerhört viktigt att man refererar till andra rapporter som ger resultat inom det område som behandlas. Underlåter man detta kan mycket ont blod väckas hos andra vetenskapsmän som anser sig förbigångna.

Experimentalteknik 5p Föreläsning Utdrag ur Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2004 Bilagor Bilagorna skall inte innehålla material som den normale läsaren ev rapporten läser, man skall inte behöva bläddra fram och tillbaka mellan rapporten och bilagan för att kunna följa mätningen. Material i bilagan skall vara sådant som kan behövas för att få en så detaljerad inblick i mätningen så att läsaren kan göra om den själv. Normalt brukar man inte redovisa till exempel m-filer för matlabkörningar av data, men om man i något sammanhang skulle vilja göra det så hör den typen av material hemma i bilagan. Lay-out Förutom dispositionen bör man beakta vissa tumregler vad gäller lay-out: alla sidor skall numreras, såväl MS Word som LaTex och de flesta andra ordbehandlingsprogram gör detta automatiskt. Om rapporten har en titelsida skall den inte numreras. avsnitten skall numreras. I långa rapporter skall även underrubrik-nivåer numreras, detta görs då med ytterligare en nivå av numrering, som till exempel: 1 Genomförande För att genomföra mätningen…. 1.1 Urladdningsförloppet Kondensatorns urladdning mättes genom att… 1.2 Uppladdningsförloppet Mätningen av uppladdningsförloppet gjordes med…. Detta för att förenkla hänvisningar i texten (”som visas i avsnitt 2.4 så..”). Även rubriknumreringen går att få automatiserad i ordbehandlingsprogrammen. Figurer och tabeller skall antingen infogas löpande i texten eller sist i rapporten. Finns figurer och tabeller i texten skall de läggas in där de först refereras till, eller högst upp på följande sida. Ibland kan det vara fördelaktigt att lägga figurer och tabeller sist, särskilt om de är mycket stora eller om det förekommer ett mycket stort antal, så att de skulle splittra upp texten i små diskontinuerliga ”öar” om de sattes in i texten. Om figurer och tabeller läggs sist skall de läggas i den ordning som de numrerats i. Denna ordning skall vara den ordning som de refereras till i texten. Tabeller kommer samlat först, följt av figurerna. Figurerna skall föregås av en sida som listar alla figurer och deras figurtexter. När man refererar till figurer och tabeller i texten så skrivs dessa med inledande versal: ”som framgår i Figur 4…” detta för att man lättare skall kunna hitta de avsnitt i en text som refererar till en figur eller tabell (minns att den första ”genomläsningen” av en rapport ofta innebär att man läser sammanfattningen och kollar figurerna). Skriv ”rent och snyggt”, fall inte för frestelsen att använda 28 olika typsnitt och en massa skojiga Word-Art rubriker bara för att de finns till hands i ordbehandlaren. Var konsekvent! Byt inte beteckningar på en storhet halvvägs genom rapporten. Använd samma förkortningar och enheter, växla inte mellan t ex 2·10 -3 A och 2 mA i samma text.