Övningsexempel till Kapitel 7 Ex 1. BRÄNNBOLLSDILEMMAT ! En person funderar över hur man bäst uppskattar 28 meter. Av erfarenhet vet han att hans steglängd, X, har väntevärde 1 meter och standardavvikelse 0.05 meter. Han väljer mellan dessa metoder: a) Bryta av en pinne som är lika lång som hans första steg. Pinnen används sedan som måttstock för att mäta upp 28 meter. b) Stega upp 28 meter. Är de två metoderna väntevärdesriktiga? Motivera. Vilken av de två metoderna skulle ni föredra? Motivera.

Ex 2: Vid ett reningsverk mättes dagligen syrakoncentrationen i vattnet. Den anses vara normalfördelad. Av erfarenhet vet man att standardavvikelsen är 2 mg/l. Efter 30 dagars mätning erhöll men medelvärdet 2.52 mg/l. a) Bestäm ett 95%-igt konfidensintervall för den teoretiska genomsnittliga koncentrationen . b) Kan man med rimlig säkerhet påstå att att den teoretiska genomsnittliga syrakoncentrationen är 3.0 mg/l? c) Hur många dagars mätningar skulle man måsta göra för att längden på konfidensintervallet inte överstiger 1 mg/l?

Ex 3: Man har bestämt brottsgränsen hos en viss sorts ståltråd och erhållit följande resultat (kp/mm 2 ): 7.6, 6.1, 7.6, 6.2, 6.5, 8.2, 5.9, 7.3, 6.4, 5.5, 6.6, 7.0 Brottsgränserna antas vara normalfördelade. a) Bestäm ett 95%-igt konfidensintervall för den teoretiska genomsnittliga brottsgränsen . b) Bestäm ett 95%-igt nedåt begränsat konfidensintervall för den teoretiska genomsnittliga brottsgränsen . Ex 4: I ett experiment undersökte man mängden tenn i innehållet i 30 konservburkar av samma sort. Det resultat man erhöll var ett medelvärde på och en stickprovs- standardavvikelse på mg/kg. Bestäm ett 99%-igt konfidensintervall för den teoretiska genomsnittliga mängden tenn.

Ex 5: Ur ett mycket stort varuprov tog man ut ett stickprov på 500 enheter. Av dessa fann man att 87 stycken var felaktiga. Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för andelen felaktiga enheter p i varuprovet. Ex 6: En geolog vill undersöka om det är någon skillnad i kopparhalt hos malmen vid två olika gruvor. Kopparhalten mättes hos ett antal malmprover. Resultatet blev: Gruva 1: Gruva 2: a) Bilda ett 95%-igt konfidensintervall för skillnaden mellan gruvornas ”sanna” kopparhalt, om vi antar att standardavvikelsen hos kopparhalterna är 0.05 och 0.07 för gruva 1 resp. gruva 2. b) Bilda ett 95%-igt konfidensintervall för skillnaden mellan gruvornas ”sanna” kopparhalt, om vi antar att varianserna är okända men olika.

Ex 7: Två olika laboratorier ombads att bestämma, med en viss standardmetod, den totala fosfatkoncentrationen (  g/l) i ett vattenprov. Varje laboratorium genomförde 36 bestämningar av fosfatkoncentrationen. Följande resultat erhölls: Jämför de två laboratorierna med ett 99%-igt konfidensintervall för skillnaden mellan deras ”sanna nivå” på bestämningarna. Antag att varianserna är lika.

Ex 8: Vid en jämförelse av två metoder att bestämma borhalten i plantor erhölls följande resultat (  g/g): Spektrofotometrisk metod: medelv. = 28.00, s = 0.30 Fluorimetrisk metod: medelv. = 26.25, s = 0.23 För varje metod gjordes 30 bestämningar. Bilda ett 95%-igt konfidensintervall för skillnaden i de två metodernas ”sanna” borhaltsbestämningar om a) vi utnyttjar CGS. b) vi antar att varianser är lika och mätvärdena är normalfördelade.

Ex 9: Kopparhalten i färska tomater och tomater konserverade på burk analyserades med atomabsorbtionsteknik. Kopparhalten i färska tomater jämförs med kopparhalten i samma tomater efter det att de blivit konserverade. Följande mätresultat erhölls: Antag att mätresultaten är normalfördelade. Bilda ett 99%-igt konfidensintervall för skillnad mellan den förväntade kopparhalten i färska tomater och den i konserverade tomater.

Facit: 2:a) 2.52 ± = [1.804, 3.236] b) nej! c) minst 62 3: a) ± = [6.230, 7.253] b) [6.742,  ] 4: ± = [54.872, ] 5:0.174 ± = [0.1408, ] 6:a) ± = [0.08, 0.20] b) ± = [0.07, 0.22], s p = : ± 0.93 = [0.15, 2.01], (CGS) 8:a) ± = [1.615, 1.885], (CGS) b) a) ± = [1.612, 1.888], s p = : ± = [0.0031, ]