Karlstads Universitet

Mats Brunström Thomas Martinsson Modellering Mats Brunström Thomas Martinsson Karlstads Universitet

Kursplanens mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna utvecklar sin förmåga att utforma, förfina och använda matematiska modeller samt att kritiskt bedöma modellernas förutsättningar, möjligheter och begränsningar utvecklar sina kunskaper om hur informationsteknik kan användas vid problemlösning för att åskådliggöra matematiska samband och för att undersöka matematiska modeller Karlstads Universitet

Ämnets karaktär och uppbyggnad Problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som genomsyrar undervisningen. En viktig del av problemlösningen är att utforma och använda matematiska modeller och på olika sätt kommunicera om de matematiska idéerna och tankegångarna. Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna. Karlstads Universitet

Kursen Naturvetenskaplig modellering Kursens mål är Uppleva nyttan av matematikkunskaper särskilt inom biologi och naturvetenskap Stärka det egna tänkandet (och självkänslan) Öva att kommunicera matematiska modeller i tal och skrift Karlstads Universitet

Karlstads Universitet Uppleva nyttan Ta tillräckligt med tid för att ingående arbeta med väl valda exempel Börja med modeller och dator-simuleringar och därefter undervisa Datorprogram ger möjlighet att studera intressanta problem Lära mer matematik och statistik Karlstads Universitet

Karlstads Universitet Stärka egna tänkandet Studenterna äger problemet Goda motiveringar istället för att gissa vad läraren tänker på Att klara av komplexa problem stärker självförtroendet Karlstads Universitet

Öva att kommunicera matematiska modeller Kunna skriva eller tala för de som inte redan kan Det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta Hur kunna påverka beslutsfattare? Karlstads Universitet

Exempel på problemlösning där modellen är given I Skvallerköping sprids ett rykte på följande sätt: Dag 1 känner 5 personer till ryktet. Alla som känner till ryktet sprider det till 3 nya personer per dag. Hur många känner till ryktet a) dag 4 b) dag 20 Karlstads Universitet

Exempel på modellering Ryktesspridning (eller spridning av smitta) Gör en modell för hur ett rykte kan spridas på Karlstads universitet. Antag att det är 10 000 personer som har sin arbetsplats på Karlstads universitet. Karlstads Universitet

Modell 1 Om vi antar att antalet nya som får reda på ryktet från en dag till nästa är proportionellt mot antalet som redan känner till ryktet skulle vi kunna ställa upp följande rekursiva samband (där an är antalet personer som känner till ryktet dag n): an+1 = k·an + an Antalet nya som får höra ryktet De som kände till ryktet redan dag n Karlstads Universitet

Karlstads Universitet Om k = 1 blir formeln an+1 = 2∙an Om a1 = 5 får man följande graf Karlstads Universitet

Modell 1 är bara användbar under ett begränsat antal dagar Detta är typiskt när man använder exponentiell tillväxt som modell. Modellen är ofta användbar under vissa förutsättningar, men slutar efter ett tag att gälla. I ryktesspridningsexemplet blir detta uppenbart. Det kan omöjligt vara 40 960 personer som känner till ryktet dag 14. Vi behöver en bättre modell! Karlstads Universitet

Karlstads Universitet Modell 2 Vi antar nu att antalet som får reda på ryktet under en viss dag är proportionellt mot antalet tänkbara möten mellan personer som känner till ryktet (an) och personer som inte känner till ryktet (10 000 – an). Detta ger följande modell: an+1 = k∙an∙(10 000 – an) + an Karlstads Universitet

Karlstads Universitet Modell 2 fortsättning Om vi även här utgår från att 5 personer känner till ryktet dag 1 och 10 personer dag 2 blir k  0,0001 Den rekursiva formeln blir då: an+1 = 0,0001∙an∙(10 000 – an) + an eller an+1 = 2∙an – 0,0001∙(an)2 Karlstads Universitet

Karlstads Universitet an+1 = 2∙an – 0,0001∙(an)2 a1 = 5 Karlstads Universitet

Modell 2, kontinuerlig version Stella Karlstads Universitet

Karlstads Universitet

Karlstads Universitet FERTILITETSFUNKTIONEN Fertiliteten beror av beståndets storlek så att den ökar med ökat bestånd upp till ett största värde. Ökar beståndet över denna optimala nivå så avtar fertiliteten på grund av matbrist, konkurrens om yngelplatser mm. Karlstads Universitet

Karlstads Universitet MORTALITETSFUNKTIONEN Mortaliteten är relativt konstant när beståndet är lågt, men om beståndet blir mycket stort ökar mortaliteten kraftigt på grund av ökad konkurrens om mat mm. Karlstads Universitet

Karlstads Universitet mortalitetsfunktion fertilitetsfunktion Karlstads Universitet

Karlstads Universitet m + 0,4 f Karlstads Universitet

Karlstads Universitet m + 0,8 f Karlstads Universitet

Stella version av Ross smittspridningsmodell Karlstads Universitet

Nu är det slut Tack för visat intresse Karlstads Universitet