Projekt 5.3 Gilpins och Ayalas θ-logistiska modell A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Projekt 5.3 Projektet går ut på att undersöka θ-logistikekvationen: Uppgifter: 1. Ekvationen i sig 2. Ekvationen med konstant skörd (harvesting), H(x)=h 3. Ekvationen med “skörd-funktionen” H(x)=hx 4. θ-logistisk ekvation jämfört med logistisk ekvation för ‘spruce-budworm’

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt θ -logistisk ekvation Figuren visar kurvor för dx/dt mot x, för ett antal olika värden på θ, då r=0,1 och K=3.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt θ -logistisk ekvation Figuren är gjord i matlab: Vx=[ ]; r=0.1; K=3; h=0; % h=theta for m=1:5 if m==1 u=0.3; elseif m==2 u=0.5; elseif m==3 u=1; elseif m==4 u=3; elseif m==5 u=5; end x=0; for n=1:13 Vxdot(n,1)=r*x*(1-(x/K)^u); x=x+0.25; end Wxdot(:,m)=(Vxdot); end plot(Vx,Wxdot)

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt θ -logistisk ekvation I figuren nedan är x “plottad” mot t, för samma θ-värden som i föregående figur. Ju större värde på θ desto snabbare når populationen sin bärförmåga, K. K=3 r=0,1 x(0)=1

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt θ -logistisk ekvation Inflektionspunkt: Den punkt där derivatan av ekvationen är noll, dvs där populationens tillväxt börjar avta. För θ=5 beräknas inflektionspunkten: r=0,1 K=3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt θ -logistisk ekvation Samtliga inflektionspunkter är markerade: θ=5→x=2,1 θ=3→x=1,9 θ=1→x=1,5 θ=0,5→x=1,33 θ=0,3→x=1,25

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Före- gående figur är också gjord i matlab. 1 θ -logistisk ekvation global h h=0.3; % h=theta for m=1:5 if m==2 h=0.5; elseif m==3 h=1; elseif m==4 h=3; elseif m==5 h=5; end [t,x]=ode45('theta',[0,500],1); size(x); % för att se hur många x man får V=x(1:49); W(:,m)=V; T(:,m)=t(1:49); end plot(T,W)

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Före- gående figur är också gjord i matlab. 1 θ -logistisk ekvation global h h=0.3; % h=theta for m=1:5 if m==2 h=0.5; elseif m==3 h=1; elseif m==4 h=3; elseif m==5 h=5; end [t,x]=ode45('theta',[0,500],1); size(x); % för att se hur många x man får V=x(1:49); W(:,m)=V; T(:,m)=t(1:49); end plot(T,W) Funktionsfilen “theta.m”: function xdot=theta(t,x) K=3; r=0.1; global h % h=theta xdot=r*x*(1-(x/K)^h);

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd, H(x)=h Säg att man har en population som i verkligheten följer en θ-logistisk ekvation. Man räknar dock på den som om den följde en “vanlig” logistisk modell. Vilka felaktiga slutsatser kan då dras när man dessutom inför en konstant skörd av populationen i fråga?

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd, H(x)=h Jämför alltså: “vanlig” logistisk modell: med θ-logistisk modell, då θ=5: Konstant skörd:

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd; phase line analysis Populationens jämviktspunkter är i korsningarna mellan F(x) och H(x). Jämviktspunkten är stabil om “phase-line-analysis- pilarna” pekar mot varandra. (Pilarna pekar åt höger om F(x)>H(x), annars åt vänster.)

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd; phase line analysis Om H(x) ökar kommer jämviktspunkterna röra sig in mot varandra. De möts i den punkt där H(x) precis tangerar F(x)-kurvan.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd; phase line analysis Vi denna punkt finns ‘maximum sustainable yield’, dvs den maximala skörd man kan plocka ut utan att populationen kollapsar. I det här fallet kan man ‘skörda’ c:a 0,23 individer varje tidssteg och populationen kommer då att hållas konstant på 1,5 individer.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd; phase line analysis Om populationen egentligen följer en θ-logistisk ekvation, kommer man att plocka ut ett för litet antal individer om man tänkt ta ut maximalt antal. Den här populationen kommer att ligga kvar på (eller växa tillbaka till) ungefär samma antal hela tiden, (dvs c:a 2,8) trots att man skördar.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd; phase line analysis Figuren är gjord i matlab: Vx=[ ]; r=0.1; K=3; theta=5; h=0.18; N=-0.25; for n=1:15 Ndot(n,1)=r*N*(1-(N/K)^theta); N=N+0.25; end M=-0.25; for m=1:15 Mdot(m,1)=r*M*(1-(M/K)); M=M+0.25; end for j=1:15 O(j,1)=h; end V=[Ndot,Mdot,O]; plot(Vx,V)

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Konstant skörd Om populationen egentligen istället följer en θ- logistisk ekvation där θ=0,5 får man följande figur: Här kommer man plocka ut en skörd som fullständigt kollapsar popula- tionen!

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx Säg att man har en population som i verkligheten följer en θ-logistisk ekvation. Man räknar dock på den som om den följde en “vanlig” logistisk modell (som i uppg. 2). Vilka felaktiga slutsatser kan då dras när man dessutom inför en skörd som följer funktionen H(x)=hx?

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx Med ‘phase line analysis’ ser man att det finns en stabil jämviktspunkt (per F(x)-funktion). θ=5 K=3 r=0,1 h=0,18

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx Jämviktspunkten vid MSY (maximum sustainable yield) är inritade med svart i figuren. θ=5 K=3 r=0,1 h=0,18

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx θ=5 K=3 r=0,1 h=0,18 Det behövs en större ansträngning (h) för att få ut maxskörd från θ-modellen. Å andra sidan får man ut fler individer och har samtidigt fler kvar vid jämvikt.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx θ=5, K=3, r=0,1 och h=0,18 Naturlig population följer θ-modellen. Man modellerar med den “vanliga” logistiska modellen. Man kommer att ta ut en skörd som är mindre än MSY. Man kommer att få fler individer kvar än vad man räknar med!

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx θ=0,5 K=3 r=0,1 h=0,18 Samma frågeställning som förut och samma data, utom för θ som är lägre:

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Ej konstant skörd: H(x)=hx Naturlig population följer θ-modellen, men man modellerar med “vanliga” logistiska modellen: Populationens jämvikt kommer att ligga på ett lägre antal än vad man räknar med, och skörde- ansträngningen (h) blir onödigt stor. θ=0,5, K=3, r=0,1 och h=0,18

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm Efter diverse förenklingar (se kursbok) landar exemplet med ‘Spruce budworm” i följande ekvation: Denna ekvation har formen: För en ‘phase-line’-analys kan man analysera endast F(x)-G(x) (eftersom man bara tittar på positiva x.)

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm x=antal τ=tid (ingen särskild enhet) R=ungefär tillväxtfaktor Q=ungefär bärförmåga

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm ‘Phase-line’-analys: Ju större R desto fler individer innehåller populationen vid jämvikt (t ex många habitat (träd) stort R och många budworms).

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm ‘Phase-line’-analys: När Q ökar, ökar antalet individer vid jämvikt. I början sker ökningen långsamt, men tar sedan ett skutt fram till ett mycket högre antal.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm Hur förändras de slutsatser man kan dra av ‘budworm’- modellen om man istället har en θ-ekvation?

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm ‘Phase line’: vid relativt lågt Q, ingen större skillnad.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm ‘Phase line’: endast θ-ekvationen har nått “skuttet”.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm ‘Phase line’: θ-ekvationen når fortare till “skuttet”.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm Slutsats: Vid lågt Q och vid mycket högt Q “landar” individantalet vid jämvikt på ungefär samma antal oavsett vilken modell man använder. Däremot når θ- ekvationen fortare fram till “skuttet” (outbreak), dvs till 3 jämviktspunkter.

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Spruce budworm De tre budworm- figurerna är gjorda i matlab: Vx=[ osv till 11]'; R=0.3; Q=11; theta=3; x=0; for n=1:45 Ft(n,1)=R*(1-(x/Q)^theta); x=x+0.25; end x=0; for m=1:45 F(m,1)=R*(1-(x/Q)); x=x+0.25; end x=0; for j=1:45 G(j,1)=x/(1+x^2); x=x+0.25; end V=[Ft,F,G]; plot(Vx,V)