Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se

1.4 Linjära ekvationssystem manada.se

Linjära ekvationssystem 𝒚=𝟐𝒙+𝟐 Vad menas med en lösning? • Svar: 𝒙 = −𝟏 , 𝒚= 𝟎 𝒚 = 𝟐𝒙+𝟐 𝒚 = −𝒙−𝟏 𝑥 𝑦 −2 1 −1 2 4 𝒚=−𝒙−𝟏 manada.se manada.se

Linjära ekvationssystem 𝒚=𝟐𝒙+𝟐 𝒚=−𝒙−𝟏 • 𝑦=2𝑥+2 𝑦=−𝑥−1 klammer Skärningspunktens koordinater är lösning till båda ekvationer 𝑥=−1 𝑦= 0 manada.se

Linjära ekvationssystem 𝑦=2𝑥+2 𝑦=−𝑥−1 𝑥=−1 𝑦= 0 Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen: 𝑦=2𝑥+2 Vänster led:2∙ −1 +2=0 Höger led: 0 𝑉𝐿=𝐻𝐿 Andra ekvationen: 𝑦=−𝑥−1 𝑉𝐿:− −1 −1=0 𝐻𝐿:0 𝑉𝐿=𝐻𝐿 Det stämmer! manada.se

Tre lösningsmetoder av ekvationssystem Grafisk lösning Algebraisk lösning Substitutionsmetoden Additionsmetoden manada.se

Grafisk lösning av ekvationssystem 𝑥≈0,7 𝑦≈2,3 Du avläser värdena på 𝒙 och 𝒚 direkt från grafen manada.se

Lös ekvationer grafiskt med TI82-84 𝑦=−2𝑥+3 𝑦= 2𝑥+3 Mata in funktion 𝑦=−2𝑥+3 vid \Y1= Mata in funktion 𝑦= 2𝑥+3 vid \Y2= För att lösa de ekvationer behöver du hitta linjernas skärningspunkt. Du har 2 skärningspunkter. Gör så här Tryck [ 2nd + TRACE + 5 ] eller [ 2nd + TRACE + ”Pil ner” + intersect + ENTER ] Skärnings punkt Kontrollera att blinkande ”spindel” finns på ena av linjerna. Tryck [ ENTER ] Kontrollera att blinkande ”spindel” finns på andra av linjerna Tryck [ ENTER ] Svara på frågan Guess? med att Trycka [ ENTER ] Du får första värde på x = manada.se

Substitutionsmetoden 3𝑦−4𝑧=17 𝑦−5𝑧=2 (1) (2) Vi löser ut 𝒚 från ekvationen (2) 3𝑦−4𝑧=17 𝑦−5𝑧+5𝑧=2+5𝑧 3𝑦−4𝑧=17 𝑦=2+5𝑧 manada.se

Substitutionsmetoden 3𝑦−4𝑧=17 𝑦=2+5𝑧 (1) (2) Vi sätter in uttrycket för 𝑦 i ekvationen (1) 3∙ 5𝑧+2 −4𝑧=17 15𝑧+6−4𝑧=17 Vi löser ekvationen 15𝑧+6−6−4𝑧=17−6 15𝑧−4𝑧=11 11𝑧=11 11𝑧 11 = 11 11 𝑧=1 manada.se

Substitutionsmetoden 3𝑦−4𝑧=17 𝑦=2+5𝑧 (1) (2) Sätt in 𝑧=1 i någon av ekvationerna t.ex. (1) 3𝑦−4∙1=17 3𝑦−4=17 3𝑦−4+4=17+4 3𝑦=21 3𝑦 3 = 21 3 𝑦=7

Substitutionsmetoden 3𝑦−4𝑧=17 𝑦=2+5𝑧 Ekvationssystemet har lösningar 𝑧=1 , 𝑦=7 Detta kan även skrivas 𝑧=1 𝑦=7

Additionsmetoden 2𝑥+3𝑦=16 4𝑥−3𝑦=14 2𝑥+3𝑦+4𝑥−3𝑦=16+14 2𝑥+4𝑥=30 6𝑥=30 (1) (2) Vi adderar ekvationerna ledvis: vänster led plus vänster led och höger led med höger led 2𝑥+3𝑦+4𝑥−3𝑦=16+14 2𝑥+4𝑥=30 6𝑥=30 𝑥=5

Additionsmetoden (1) 2𝑥+3𝑦=16 4𝑥−3𝑦=14 (2) Sätt in 𝑥=5 i någon av ekvationerna t.ex. (1) 2∙5+3𝑦=16 10+3𝑦=16 10−10+3𝑦=16−10 3𝑦=6 3𝑦 3 = 6 3 𝑦=2

Additionsmetoden 2𝑥+3𝑦=16 4𝑥−3𝑦=14 𝑥=5 𝑦=2 (1) (2) Ekvationssystemet har lösningar 𝑥=5 , 𝑦=2 Detta kan även skrivas 𝑥=5 𝑦=2

Enkla olikheter 2<3 2 är mindre än 3 2+2<3+2 2−1<3−1 2×2<3×2 2 2 < 3 2

Enkla olikheter 2<3 2 är mindre än 3 2×(−2)>3×(−2) OBS! 2×(−2)>3×(−2) 2 (−)2 > 3 (−2) Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

Linjära olikheter 𝒙 – 𝟑 > −𝟐𝒙 + 𝟓 𝒙 – 𝟑 <−𝟐𝒙 + 𝟓 𝒚 = 𝒙 − 𝟑 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓

LINJÄRA OLIKHETER 𝑥 – 3 < −2𝑥 + 5 𝑥 – 3 + 2𝑥 < −2𝑥 + 2𝑥 + 5 𝒚=𝒙−𝟑 𝒚=−𝟐𝒙+𝟓 𝒚=𝒙−𝟑 𝒚=−𝟐𝒙+𝟓 𝑥 – 3 + 2𝑥 < −2𝑥 + 2𝑥 + 5 3𝑥 – 3 < 5 3𝑥 – 3 + 3 < 5 + 3 3𝑥 < 8 𝑥< 8 3 𝑥<2 2 3 Alla värde på 𝑥 som är mindre än 2 2 3 är satisfierar (tillfredsställer) olikheten