GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata.

En presentation över ämnet: "GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata."— Presentationens avskrift:

1 GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata

2 Vad menar vi med lutning?
Hur lutar den röda kurvan vid pilarna? - + +

3 Vad är en inflektionspunkt?

4 Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret?

5 Vi söker lutningen…

6 y = x³ - 3x² - x + 3 Vad heter den blå linjen? Länk till DESMOS

7 HASTIGHET Vad menas med begreppet hastighet? Ex. 80 km/h

8 HASTIGHET Jämför med Räta linjens k-värde!!

9 Ändringskvot Förändring i y-led Ändringskvot Förändring i x-led

10 Ändringskvot Var har du sett detta förr?

11 Ändringskvot

12 Ändringskvot

13 LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

14 LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

15 LINJERS LUTNING

16 LUTNING I EN PUNKT

17 m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

18 RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens derivata k = linjens lutning

19 DERIVATAN En introduktion

20 Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1

21 Begreppet derivata (x + h)

22 Begreppet derivata

23 KURVORS LUTNING VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???
Negativ - Positiv + Positiv + Lutning = 0 VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???

24 Begreppet derivata

25 Derivatans definition Deriveringsregler
GENOMGÅNG 2.2 Gränsvärde Derivatans definition Deriveringsregler

26 Derivatans definition

27 Derivatans definition

28 Derivatans definition
ℎ→0

29 Derivera ℎ→0

30 Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1

31 Att derivera termer -x -1 -x2 -2x -x3 -3x2 -x4 -4x3 -x5 -5x4 xa axa-1
funktion derivata -x -1 -x x -x x2 -x x3 -x x4 xa axa-1

32 Derivatans definition

33 DERIVATANS DEFINITION

34 y = x³ - 3x² - x + 3 Vad heter den blå linjen? Länk till DESMOS

35 y = x³ - 3x² - x + 3

36 Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.

37 Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent

38 Begreppet derivata DERIVATANS DEFINITION

39 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret? Var hittar du detta i formelbladet?

40 Deriveringsregler, exempel
Vad hände med ?

41 Derivatan av en konstant
DESMOS - [ y = 4 ]

42 Kurva med derivata

43 Kurva med derivata Vid vilka värden på x är kurvans lutning
lika med noll? Kurvans funktion är: Kurvans derivata är: Vi sätter derivatan lika med noll:

44 Kurva med derivata Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?

45 Kurva med derivata Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1
Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter? Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Extrempunkternas koordinater:

46 Deriveringsregler, exempel

47 GENOMGÅNG 2.3 Deriveringsregler 1

48 Uppgift A (1,2)

49 Funktion och derivata

50 LärarDalle

51 LärarDalle

52 Derivera med derivatans definition

53 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

54 Vi deriverar…

55 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

56 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

57 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

58 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

59 Vi deriverar…

60 Deriveringsregler x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x x-2 (-1*x-2) x x-3 x x-4 x x-5 x x-6 xn nxn-1

61 Vi deriverar… OBS!

62 Vi deriverar…

63 Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift från Matematik-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

64 Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift från Matematik-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

65 Vad heter tangenten? Vilket ”namn” har den blå tangenten till kurvan?

66 Vad heter tangenten? Vilket ”namn” har den blå tangenten till kurvan?

67 Vad heter tangenten?

68 Vad heter tangenten?

69 Hur ser tangenten ut?

70 Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken Bestäm f´(x) om

71 GENOMGÅNG 2.4 Deriveringsregler 2

72 Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1

73 Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x x-2 (-1*x-2) x x-3 x x-4 x x-5 x x-6 xa axa-1

74 Hur ser derivatan ut?

75 Hur ser derivatan ut?

76 Deriveringsregler

77 Vi deriverar…

78 ln e Vad visar din räknare om du slår in

79 ln e & lg 10

80 Deriveringsregler

81 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

82 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

83 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

84 Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

85 Naturliga logaritmer

86 Logaritmlagar Jämför med formelbladet

87 Logaritmer med TI-82 Slå följande på TI-82: Förklara resultatet

88 Logaritmer med TI-82 Slå följande på TI-82: Förklara resultatet

89 Logaritmer med TI-82 Slå följande på TI-82: Förklara resultatet

90 Logaritmer med TI-82 Slå följande på TI-82: Förklara resultatet

91 Logaritmer med TI-82 Slå följande på TI-82: Förklara resultatet

92 Logaritmer ett exempel
Uppgift från Matematik 3bc-boken (exakt) (närmevärde med tre decimaler) (exakt) (närmevärde med tre decimaler)

93 Logaritmer ett exempel
Uppgift från Matematik 3bc-boken SÄTT IN NÅGRA VÄRDEN PÅ X OCH KONTROLLERA!

94 GENOMGÅNG 2.5 2.5 Grafisk och numerisk derivering

95 Grafisk och numerisk derivering

96 Grafisk och numerisk derivering

97 Grafisk och numerisk derivering

98 Derivering med derivatan

99 Bestäm tangenten till denna kurva
Bestäm tangenten till denna kurva där x = 2

100 Grafisk och numerisk derivering
från Matematik 3c-boken

101 Grafisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Börja med att ställa in Window enligt följande: Xmin = -1 Xmax = 5 Xscl = 1 Ymin = -1 Ymax = 5 Yscl = 1

102 Grafisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då \Y1=3X*0.7^X Tryck [2ND] + CALC Svar:

103 Numerisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare ((3*2.1*0,7^2.1)-(3*1.9*0,7^1.9))/(0.2) Svar:

104 Numerisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare (Y1(2.1)-Y1(1.9))/(0.2) Svar:

105 Numerisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Svar:

106 Derivering med räknarens inbyggda funktion
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 nDeriv(3x*0,7^x,x,2) nDeriv(Y1,x,2) Mata in värden enligt nedan Tryck <Enter> Svar:

107 Derivering med räknarens inbyggda funktion TI-82, Äldre TI-84 etc.
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 Mata in värden enligt nedan nDeriv(3X*0,7^X,X,2) Tryck <Enter> Svar:

108 Vi jämför…

109 Derivering med nDeriv() i TI-82
. Bestäm ett närmevärde med 3 decimaler till då Tryck [Y=] och skriv in \Y1=(x/3)*0.9^(3X) Tryck [2nd]+[MODE] = QUIT Tryck [MATH] + 8 Hur får vi fram Y1? Mata in värden enligt nedan nDeriv(Y1,X,2) Tryck [Enter] Svar:

110 Derivering med nDeriv() i TI-82
. Bestäm ett närmevärde med 3 decimaler till då Svar:

111 LärarDalle Exempeluppgifter: 31:40 in i filmen

112 Socrative