Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

En presentation över ämnet: "Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller"— Presentationens avskrift:

1 Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

2 Algebra och icke-linjära modeller
2.1 Polynom 2.2 Andragradsekvationer 2.3 Andragradsfunktioner 2.4 Potenser och potensekvationer 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer

3 GENOMGÅNG 2.1

4 POLYNOM Ett polynom är en summa av termer konstant koefficient
variabel

5 DEFINITIONER ”ett genom” Exempel:

6 POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

7 POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

8 POTENSLAGARNA

9 POTENSLAGARNA

10 POTENSLAGARNA

11 POTENSLAGARNA

12 VÄRDET AV ETT POLYNOM

13 PARENTESREGLERNA En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen.

14 ADDITION AV POLYNOM

15 SUBTRAKTION AV POLYNOM

16 FÖRSTA KVADRERINGSREGELN

17 FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
OBS! OBS!

18 ANDRA KVADRERINGSREGELN

19 ANDRA KVADRERINGSREGELN

20 KONJUGATREGELN

21 KONJUGATREGELN

22 Multiplikation av polynom

23 Faktorisering av polynom
Bryt ut faktorn x ur följande polynom:

24 Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

25 Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

26 GENOMGÅNG 2.2 2.2 Andragradsekvationer

27 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Linjär funktion Andragradsfunktion Y = 2x - 3 Y = x2 - 3 Denna kan man även kalla ”förstagradsfunktion” En andragradskurva kallas även för parabel

28 ANDRAGRADSEKVATIONER
-X +X Symmetrilinje

29 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje

30 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

31 ANDRAGRADSEKVATIONER
NOLLSTÄLLEN

32 ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt

33 ANDRAGRADSEKVATIONER
Sidan 99 i Matematik bc VUX-boken

34 ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

35 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

36 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen

37 GENOMGÅNG 2.3 2.3 Andragradsfunktioner

38 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

39 ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

40 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

41 ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt

42 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114

43 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114

44 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115

45 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115

46 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Hur vet vi det? Matematik 2bc VUX – boken, sid 115

47 ANDRAGRADSFUNKTIONER
b) (2,0) och (6,0) c) x = 2 och x = 6 d) x = 4 e) x = 4 Matematik 2bc VUX – boken, sid 116

48 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

49 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

50 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

51 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

52 ANDRAGRADSEKVATIONER
1 1 Minimipunkt

53 Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?

54 Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?

55 Andragradsfunktioner - DESMOS
Var skär dessa kurvor varandra?

56 Andragradsfunktioner - DESMOS

57 Andragradsfunktioner - DESMOS

58 Andragradsfunktioner - DESMOS
Algebraisk lösning

59 Andragradsfunktioner - DESMOS
Var skär dessa kurvor varandra?

60 Andragradsfunktioner - DESMOS

61 Andragradsfunktioner - DESMOS
Ange en funktion som aldrig skär denna funktion: Gå till DESMOS!

62 GENOMGÅNG 2.4 2.4 Potenser och potensekvationer 62

63 Roten ur

64 Potensekvationer

65 Ekvationen xn = a

66 Ekvationen xn = a

67 OBS!

68 OBS! 5^(1/2) = 2, 5^(1/3) = 1, 5^(1/4) = 1,

69 GENOMGÅNG 2.5 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer 69

70

71 Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet
Ökning med 5 % Ett exempel 210 kronor = 1,05 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1,05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren:

72 Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet
Minskning med 5 % Ett exempel 190 kronor = 0,95 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 0,95 × 200 kronor = 190 kronor Minskning med 5 % Räknaren:

73 Flera procentuella förändringar
William köper en ny bil för kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a kronor

74 Flera procentuella förändringar
William köper en ny bil för kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? A: Efter 5 år: B: Efter 5 år: Vilket sätt att skriva tycker Du är bäst? Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a kronor

75 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år (antal upprepningar)

76 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden

77 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas minska med 2 % varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden

78 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?

79 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?

80 Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

81 Logaritmer Enligt räknaren…

82 Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 82

83 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

84 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

85 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

86 Logaritmer - exempel lg(10)/lg(3) = 2,09590327429
10^(1/3) = 2,

87 Logaritmer - exempel lg(10)/lg(5) = 1,43067655807
10^(1/5) = 1,

88 Logaritmer - exempel lg(27)/lg(7,5) = 1,63572977578
27^(1/7,5) = 1,

89 Logaritmlagar

90 Logaritmlagar

91

92 Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

93 Logariter – ett exempel

94 Logariter – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,

95 Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 95