Begrepp och samband Bo Sjöström bo.sjostrom@mah.se PP kan fås på Teliaadressen. Återkommer mot slutet.

Dagens datum: 3.14 Pi-dagen 14 mars 03.14 www.smal-matte.com SMaL

Medelvärde 1 + 2 + 10 + 6 + 1 = 20. 20/5 = 4. Svar: Medelbetyget är 4. Betyg Antal 1 1 2 2 3 10 4 6 5 1 felaktiga lösningar i stil med: 1 + 2 + 10 + 6 + 1 = 20. 20/5 = 4. Svar: Medelbetyget är 4.

(Ur Äp9 Ma 1998) Eleverna i en klass svarade på frågan ”Hur många syskon har du?” Svaren sammanställdes i följande tabell: Antal syskon Avprickning Frekvens 0 // 2 1 ///// 5 2 ///// ///// 10 3 // 2 4 / 1 a) Hur många elever har 3 syskon? b) Så här gjorde en elev när hon skulle beräkna medelvärdet av antalet syskon. 2 + 5 + 10 + 2 + 1 = 20 medelvärde = 20/5 = 4 Hur kan man direkt se att svaret är fel? c) Gör en riktig beräkning.

Antal syskon Avprickning Frekvens 0 || 2 1 |||| 4 2 ||||| ||||| | 11 Hur många syskon har du? A. Anna 1 Karl 2 Bosse 0 Lina 0 Carlos 2 Marcus 2 David 2 Natalia 2 Edvard 2 Oskar 2 Frida 2 Pelle 3 Gustav 1 Rodan 2 Henrik 3 Staffan 1 Ivan 4 Tove 2 Jacob 1 Ulrika 2 ------------------------------------------------------------------------------------------ B. Frekvenstabell Antal syskon Avprickning Frekvens 0 || 2 1 |||| 4 2 ||||| ||||| | 11 3 || 2 4 | 1

Utprövning: Medelåldern i en familj är 20 år … (Äp9 Ma06 C:9) Maria är med i ett hockeylag. Först bestod spelartruppen av 20 spelare och hade en medelålder på 20 år. Två av spelarna slutade och då sjönk medelåldern till 19 år. Hur gamla kan de två spelarna som slutade ha varit? (1/2) (20x20=400) (18x19=342) ”Nationella provuppgifter i matematik kan avslöja elevers förståelse … .”

David tränar pilkastning. Varje pil kan ge högst 10 poäng (Äp9 Ma09 C7) David tränar pilkastning. Varje pil kan ge högst 10 poäng och minst 0 poäng. Hans mål är att han ska bli så säker att hans medelvärde kommer över 7 poäng på fem kastade pilar. a) I första omgången får han följande resultat: 8, 8, 3, 6, 0. Vilket är då hans medelvärde? (1/0) b) Den andra omgången börjar med att de tre första pilarna hamnar på 8, 9 och 6. När David kastat även den fjärde och femte pilen är hans medelvärde precis 7. Vilka poäng kan David ha haft på pil 4 och 5 för att detta ska stämma? (1/2)

b) Kombinationerna 6, 6 ; 5, 7 ; 4, 8 ; 3, 9 och 2, 10 Ger minst ett korrekt förslag på pilarnas poäng +1g Redovisar att totalsumman är 35 eller att summan av de två pilarnas poäng måste vara 12 +1vg Klar och tydlig redovisning med alla kombinationer i svaret +1vg

Göra tabell: 0 1 2 3 4 5 6 7 (12) (11) 10 9 8 7 6 …

Detta är dagstemperaturerna i Söderort i vecka 3 på skoldagarna. Dag: må ti on to fr Antal grader: 5 4 4 1 0 Beräkna medelvärdet. (Svar 3,5 eller 2,8?) ”Nationella provuppgifter i matematik kan avslöja elevers förståelse … .”

Detta är dagstemperaturerna i Söderort i vecka 3 på skoldagarna. Dag: må ti on to fr Antal grader: 5 4 4 1 0 Förklara varför lösningen nedan är fel.

(Äp9 Ma09 C7) igen… . Hur förbättra uppgift a? David tränar pilkastning. Varje pil kan ge högst 10 poäng och minst 0 poäng. a) I första omgången får han följande resultat: 8, 8, 3, 6, 0. Vilket är då hans medelvärde? (1/0)

71 Beräkna medelvärdet av talen a) 8 7 6 5 4 b) 5 5 2 2 1 c) 4 4 3 1 0 12 71 Beräkna medelvärdet av talen a) 8 7 6 5 4 b) 5 5 2 2 1 c) 4 4 3 1 0 d) 4 4 4 0 e) 4 4 0 0 f) 4 0 0 0 81 a) 5 2 0 (-1) (-1) b) … Vanliga uppgifter? Avslöjande eller självreglerande? Progression… Medelvärdesbegreppet

En familj består av två vuxna och två barn. … Medelåldern i familjen är 20 år. Familjens vuxna är båda 32 år. a) Ge minst två exempel på hur gamla barnen kan vara. (Hur gamla kan barnen vara? Visa … ) Vad en Tabell kan visa: 8 8 9 7 10 6 … 15 1 16 0

b) Om en vecka räknar mamman med att föda sitt tredje barn. Vilken medelålder får familjen då? c) … föda … tvillingar … Svar: b 80/5 = 16 c 80/6 ≈ 13,3 (tvillingar) d 80/7 ≈ 11,4 e 80/8 = 10 f 80/9 ≈ 8,9 g 80/10= 8 (sexlingar)

… föda … åttlingar …

Vill föda n-lingar så att medelåldern blir 5

(Äp9 Ma13 B14) Du vet hur stor medelåldern är för tre vuxna personer. Vilka två av följande frågor kan man då besvara korrekt? Ringa in de två korrekta svarsalternativen. (0/1/1) Hur gammal är var och en av personerna? Hur stor var medelåldern för dessa personer för exakt två år sedan? Hur stor är medelåldern för två av dessa personer? Hur stor är personernas sammanlagda ålder?

1) I Marias familj finns 2 vuxna och 2 barn. Gruppledtrådar Hur gammal är Maria? Ledtråd … 1) I Marias familj finns 2 vuxna och 2 barn. Medelåldern i Marias familj är 26 år. 2) Marias bror heter Niclas och är10 år. 3) Niclas pappa är 4 gånger så gammal som Niclas. 4) Marias mamma är 26 år äldre än Maria. 5) Elin löser uppgiften med ekvation: M + 10 + 40 + (M + 26) = 4 ∙ 26. 6) För ett år sedan var medelåldern för de två barnen 11 år.

Aktivitet Två tärningar. Summan. Gör ”Frekvenstabell”. Hur tror … Summa: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jag satsar på att följande summor ska vinna: 5, 6, 7 eller 8 Ni får ta resten av summorna: 2, 3, 4, 9, 10, 11 och 12

Aktivitet. Frekvenstabell Du ska kasta en tärning 25 gånger. a) Vilket medelvärde tror du det blir? b) Gör försöket, anteckna resultatet i en frekvenstabell och beräkna ditt medelvärde. c) Vilket medelvärde bör det bli efter … kast

Summan. Tre tärningar … Produkten. Två tärningar… Differensen. Två tärningar … …

+ 1 3 5 7 2 4 6 3. Hjulen snurras 8 000 gånger. 2 4 6 3. Hjulen snurras 8 000 gånger. Ungefär hur många gånger blir summan a 7 b 9

3 Hjulen snurras 8000 gånger. Ungefär hur många gånger blir summan a 7 (1/) b 9 (1/1/1)

Formativ själv- och kamratbedömning Mål: Visa att du kan förklara samband mellan bråk och procent se samband bråk-decimaltal-procent-sannolikhet addera enkla bråk använda strategier vid problemlösning

3 b 1500 ggr Du redovisar lösning med rätt svar E (M) Du kan förklara hur du kom fram till svaret (K) Du redovisar tydligt att du utgår från 3/16 och hur t.ex. 1/16 av 8000 = 500 C (M) Du kan förklara för någon hur du tänkt och på vilket sätt du skrivit ner din lösning (R,K) Du redovisar en tydlig lösning som är lätt att följa och använder matematiskt språk. A (M,B) Du kan förklara hur din lösning är korrekt och tydlig att följa (P,R)

R (resonemang) – föra och följa matematiska resonemang, och … Ur Lgr11: …utveckla sin förmåga att P (problem) – formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder B (begrepp) – använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp M (metoder) – välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter R (resonemang) – föra och följa matematiska resonemang, och … K (kommunikation) – använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Tänk efter T1 Du singlar slant. I ditt första kast kommer H upp. Hur stor är sannolikheten att H kommer upp i ditt andra kast? Du gör två nya kast. Vilken är sannolikheten att H kommer upp i båda de kasten? Förklara varför det blir olika svar i a och b. P B M R K

T2 Pia påstår att sannolikheten för att få ”olika” när man kastar ett mynt två gånger är 1/3, eftersom där finns tre utfall: krona-krona, klave-klave eller ”olika”. Förklara varför Pia har fel. P B M R K

T4 Charlie och Sanna kastar en tärning 200 gånger. Charlie satsar på alla udda tal och Sanna på de jämna. a Vem tror du har störst summa när de kastat klart? Motivera.   b Sanna tror att hennes summa kommer att vara ungefär 400. Hur kommer hon fram till detta? c Ungefär vilken summa tror du Charlie får? P B M R K

I en skål ligger dessa sex bokstäver: E F L M O R P6 Alva, Bella, Cissi, Diba, Ebba och Fia ska ställa sig i kö till en toalett. På hur många olika sätt kan de stå i kön? Strategi? ”Strategier för matematisk problemlösning …” P7 I en skål ligger dessa sex bokstäver: E F L M O R Sanna tar upp en bokstav i taget och lägger ut i en rad. Hur stor är sannolikheten att ordet på raden blir: F O R M E L (6! = 720) (1/720 = 0,00138888)

Rektanglarna ska alla ha samma omkrets, 24 cm, och längden på sidorna ska vara heltal. Gör en tabell. Slutsatser? Längd(cm) Bredd(cm) Omkrets(cm) Area (cm2) 11 1 24 11 10 2 24 … 3 24 4 24 5 24 6 24

Längd(cm) Bredd(cm) Omkrets(cm) Area(cm2) 11 1 24 11 10 2 24 20 9 3 24 27 8 4 24 32 7 5 24 35 6 6 24 36 Diff Göra tabell, Upptäcka mönster,

Kvadrater och Rektanglar, med samma omkrets. Tabell eller mönster 9 · 9 = 81 a · a = a2 10 · 8 = 80 (a+1)(a–1) = a2–1 11 · 7 = 77 (a+2)(a–2) = a2–4 12 · 6 = 72 (a+3)(a–3) = a2–9 Kvadrater och Rektanglar, med samma omkrets.

Välj tre heltal som kommer direkt efter varandra, t ex 6, 7, 8  (Äp9 Ma07B2) Välj tre heltal som kommer direkt efter varandra, t ex 6, 7, 8 Multiplicera det största och det minsta talet med varandra: 6 · 8 = 48 Multiplicera det mellersta talet med sig själv: 7 · 7 = 49 Gör motsvarande beräkningar för några olika talföljder med tre andra tal som kommer direkt efter varandra. Beskriv resultatet av din undersökning. Vilken slutsats kan du dra? Undersök på samma sätt några andra talföljder med tre tal. Differensen ska vara densamma mellan två tal som följer på varandra, t ex två som i talföljderna 1, 3, 5 och 6, 8, 10 eller tre som i talföljderna 1, 4, 7 och 6, 9, 12. Beskriv resultatet av denna undersökning. Vilka samband hittar du? Visa att sambanden gäller för alla talföljder som är uppbyggda på detta sätt. (4/6) ¤

Sista del av en elevlösning: tal 1 tal 2 tal 3 x x + y x + 2y tal 1 · tal 3 = x( x+2y)= x2 + 2xy (tal 2)2 = (x+y)2= x2 +2xy + y2 Göra tabell ? Döpa mittalet till x ?

På varandra följande tal 41 fler På varandra följande tal Vilka är talen om A. 3 på varandra följande tal har summan 30 B. 5 30 … C. 4 14 D. 6 21 E 5 10 ( 0, 1, 2, 3, 4 ) F 5 5 ( -1, 0, 1, 2, 3 ) Udda tal … Samband med medelvärde? Vilka samband hittills? Mv, Summa o produkt av 2 tal, O-A f Rektanglar, På v f tal.

Samband mellan ovan och nedan? (1) 1+2+3+4+ …+98+99 = (1) 1+2+3+4+ …+98+99 =   1+3+5+ … (2) (Ur Uppgift 2, delprov C, NP1999 Samlingssalar.) I den nya skolan ska det byggas en samlingssal där första raden har 10 platser och andra raden har 13 platser. Rad 3 har 16 platser och så … ända till sista raden som har 31 platser. a) Hur många rader… Samband föreg med detta?

2 I en annan samlingssal … formeln 12 + 5n. Beskriv hur denna sal är uppbyggd. 3 Kalle påstår att man alltid kan beräkna totala antalet platser i en samlingssal, som är byggd på motsvarande sätt, genom att multiplicera antalet platser på den mittersta raden med antalet rader. Undersök om Kalle har rätt.

P4 En teatersalong med 11 rader har 20 stolar på första raden. Rad 2 har 22 stolar, rad 3 har 24. Antalet stolar ökar med två för varje rad. Antalet stolar (S) på rad nummer n beskriver Fia och Gustav med formel. Fia: S = 20 + 2(n – 1) Gustav: S = 2n + 18 a Visa att båda har rätt. b Hur många stolar finns det på rad 11? c Hur många stolar finns det totalt i salongen?

Visa vilken formel hon använde och hur hon fick fram sitt svar. P5 En annan teatersalong med 11 rader har också 20 stolar på första raden. Rad 2 har 24 stolar, rad 3 har 28. Antalet stolar ökar lika mycket för varje rad. Hur många stolar finns totalt i denna salong? P5 När Pia löste uppgift 4c ritade hon en parallell- trapets och satte ut mått på parallella sidor och höjd. 40 11 20

Robben Island är en känd fängelseö utanför Kapstaden. Formen på ön kan liknas vid en parallelltrapets. Mät på kartan och beräkna ungefär hur stor area Robben Island har i verkligheten. (1/2/1) (Äp9Ma13)

Bildens area (cm2) = Areaskala 1: (25 000)2 = 1: 625 ∙ 106 Area i verkligheten: 625 ∙ 106 ∙ 77 cm2 = = 48125 ∙ 106 cm2 = 4812500 m2 = =4,8125 km2 ≈ 4,8 km2.

17) Beräkna … Svar:__________ Äp9Ma09 B1: 17 (sista uppgiften) 17) Beräkna … Svar:__________

(Äp9 Ma09 C10) I en fruktodling har man planterat mangoträd ( ) om- givna av apelsinträd ( ) på det sätt som figurerna visar. Hur många mangoträd och hur många apelsinträd finns det i figur 5? (2/0) b) … i figur n? Motivera ditt svar. (0/2) ¤ c) I figur 2 finns det dubbelt så många apelsinträd som mangoträd. Undersök i vilken figur som det finns dubbelt så många mangoträd som apelsinträd. (1/1) ¤

Figur nr: 1 2 3 4 … n … Gula (apelsin) 4 8 12 16 Blå (mango) 1 4 9 16 Differens 1 3 5 7 Differens 2 2 2

Figur Mönster nr A B 1 4 4 2 8 7 3 12 10 … n __ __ 10 x y

Figur nr: 1 2 3 4 … Antal stickor: 3 6 9 Pricka in talparen i ett koordinatsystem. Dra en linje mellan punkterna … Samband med proportionalitet? , med skala???

Figur nr: 1 2 3 4 … Antal stickor: 3 5 7 Pricka in talparen i ett koordinatsystem. Dra en linje mellan punkterna … Varför inte proportionalitet? Räta linjens ekvation…

Vilka begrepp har vi arbetat med? Vilka samband mellan begrepp? Vilka nya samband har du upptäckt? Begrepp och samband kan eleverna upptäcka och utveckla i arbete med … .

bo.sjostrom@mah.se