Prognoser En prognos i tidsserieanalysen görs för ett framtida värde i tidsserien. Syftet med en prognosmodell är att göra en prognos, inte att förklara det historiska skeendet.  Modeller för prognoser behöver inte vara korrekta ur ekonomisk-teoretisk synvinkel. Sunt förnuft i kombination med effektiv matematik ger i regel de bästa prognoserna.

Regression: Prognoser bara inom dataområdet. Tidsserier: Prognoser utanför dataområdet (i framtiden)

Prognoser Skillnad gentemot prognoser i regression: Det framtida värdet tillhör inte dataområdet. Modellens viktigaste funktion är att producera bra prognoser; att alla parametrar är tolkbara är mindre viktigt. Exempel: Prognos för utomhustemperaturen imorgon – med hjälp av meteorologisk information från idag. Prognos av aktiekurs – komplicerat eftersom det finns så många faktorer som påverkar; bästa prognos hittills persistensprognos (dvs. dagens aktiekurs är prognosen för imorgon)

Exempel: En historisk studie av försäljningen av satellit-TV-abonnemang visar en genomsnittlig ökning med ungefär 3% per år de senaste tre åren. Vidare har den genomsnittliga försäljningen varit lägre i maj än i september. Om man i augusti innevarande år vill göra en prognos av försäljningen i september kan man skriva upp den genomsnittliga årsförsäljningen föregående år med (9/12)3% multiplicera eller addera en faktor/term som motsvarar september månads avvikelse från genomsnittet. ev. kan man också göra en bedömning av konjunkturläget och justera prognosen efter detta.

Varför är det viktigt med prognosmodeller? Modellerna kan beskriva en viss del av variationen. I många fall kan inte olika subjektiva uppfattningar samlas i en enda prognos, då krävs något objektivt. I flera fall blir de modellbaserade prognoserna bättre än konkurrerande alternativ. Engelsk term: forecasting

Statistiska prognosmodeller: Statiska modeller som kan beskriva tidsserien och även producera prognoser 1. Anpassad modell för tidsserieregression kan användas för att göra prognoser för framtida tidpunkter. 2. Klassisk modell för komponentuppdelning kan göra prognoser med hjälp av trend- och säsongskomponenter, men i viss mån även beträffande konjunktur. Dynamiska tidsseriemodeller som framförallt syftar till att göra prognoser 3. Exponentiella utjämningmodeller 4. Autoregressiv modellering

Prognosstrategi: Regression/Komponentuppdelning Statiska modeller (med trend, säsongskomponenter) som gör prognoser genom att använda samma trend och samma säsongskomponeneter som under hela den observerade perioden. ‘Riktiga’ prognosmodeller Dynamiska modeller som anpassar sig efter de senaste tendenserna i tidsserien. Prognoserna görs främst med hjälp av tidpunkterna i slutet av serien, äldre värden har inte lika stark betydelse. Trend och säsongskomponenterna uppdateras över tiden.

Prognoser i statiska modeller

Prognoser i tidsserieregressionen Predictor Coef Constant 3.6491 time 0.02851 C4 -1.691 C5 -0.469 C6 2.752 C7 1.224 C8 6.195 C9 2.417 C10 8.138 C11 6.360 C12 0.581 C13 2.553 C14 1.024 Prognos för december 1999 tid : 48; c4-c14: 0 Prognos för januari 2000 tid : 49; c4: 1; c5-c14: 0

Prognoser i statiska modeller

Prognoser i en komponentuppdelningsmodell Trend Line Equation Yt = 5.77613 + 4.30E-02*t Seasonal Indices Period Index 1 0.425997 2 0.425278 3 1.14238 4 0.856404 5 1.52471 6 1.10138 7 1.65646 8 1.65053 9 0.670985 10 1.02048 11 0.825072 12 0.700325 Prognos för december 1999 tid t=48, säsong=1 multiplikativ modell Prognos för januari 2000:

Enkel exponentiell utjämning Används för att göra prognoser för en tidsserie som innhåller varken trend-eller säsongskomponenter, t ex årlig försäljning av en vara. Tänkbar modell: yt=0 + t Modellen skall dock inte ses som statisk utan vi kan tillåta att nivån (0 ) kan ändras, dock inte enligt någon typisk trendstruktur.

Enkel exponentiell utjämning innebär att man använder historiska data för att ”jämna ut” serien och därmed plocka bort den rent slumpmässiga variationen. Vid utjämningen kan man låta gamla värden och nyare värden spela olika stora roller. Den utjämnade serien använder vi sen för att göra prognoser efter den sista observationen.

Beteckna de tillgängliga historiska observationerna y1,y2,…yn För enkel exponentiell utjämning används modellen: dvs vi har här infört termen som anger det utjämnade värdet vid tidpunkt t  är den s k utjämningskonstanten eller utjämningsparametern (smoothing parameter). 0    1 som styr hur mycket vikt det nyaste värdet i serien får.

Med ett lågt värde på  (nära 0) spelar de tidigare värdena i serien en större roll än de senare: Serien blir mer utjämnad (mer lik ett medelvärde av samtliga observationer) Med ett högt värde på  spelar de senare värdena i serien en större roll än de tidigare: Serien blir mindre utjämnad och kommer i högre grad att fånga upp de successiva förändringarna i tidsserien.

Som prognos för ett framtida värde (vilket som helst!) används: Uppdateringsformeln kallas rekursionsformel och ger vid handen två viktiga frågor: Hur skall vi välja  ? Var skall vi börja, dvs vilket värde skall vi välja på ?  anger antal tidssteg efter tidpunkten T och kallas på engelska lead.

Valet av kan göras på litet olika sätt beroende på tillgången till historiska data: Många historiska värden: - Använd 10-50% av de historiska värdena och beräkna ett medelvärde av dessa. Detta medelvärde är en skattning av 0 i modellen och blir också det värde vi sätter l0 till. - Låt y1 vara den första observationen i det resterande datamaterialet och börja utjämningen från denna, eller den första observationen i hela datamaterialet och börja utjämningen från denna.

Valet av (forts). Ett fåtal historiska värden: - Använd samtliga historiska data och beräkna ett medelvärde av dessa. Detta medelvärde är en skattning av 0 i modellen och blir också det värde vi sätter till. - Låt y1 vara den första observationen i hela datamaterialet och börja utjämningen från denna.

Exempel: Försäljning av dagligvaror i USA Year Sales values 1985 151 1986 151 1987 147 1988 149 1989 146 1990 142 1991 143 1992 145 1993 141 1994 143 1995 145 1996 138 1997 147 1998 151 1999 148 2000 148

Tidsseriegraf

Antag modellen: Skatta β0 med medelvärdet av de första 8 observationerna i tidsserien  Låt = =146.75

Antag först att försäljningen är ganska stabil, dvs, under den studerade perioden antas inte genomsnittsvärdet β0 ändra sig nämnvärt. Då kan man välja ett relativt lågt värde på . Detta innebär att de tidigare värdena i serien kommer att spela en större roll i prognoserna än de senare. Vi låter =0.1 Vi använder nu uppdateringsformeln, som egentligen uppdaterar skattningen av β0. Vi låter y1 vara det första värdet i tidsserien.

Prognoser

Analys med hjälp av Minitab StatTime SeriesSingle Exp Smoothing…

Year T Sales val. lT-1 yT – lT-1 Forecasts 1985 1 151 146,750 4,25000 * 1986 2 151 147,175 3,82500 * 1987 3 147 147,558 -0,55750 * 1988 4 149 147,502 1,49825 * 1989 5 146 147,652 -1,65158 * 1990 6 142 147,486 -5,48642 * 1991 7 143 146,938 -3,93778 * 1992 8 145 146,544 -1,54400 * 1993 9 141 146,390 -5,38960 * 1994 10 143 145,851 -2,85064 * 1995 11 145 145,566 -0,56557 * 1996 12 138 145,509 -7,50902 * 1997 13 147 144,758 2,24188 * 1998 14 151 144,982 6,01770 * 1999 15 148 145,584 2,41593 * 2000 16 148 145,826 2,17433 * 2001 17 146,043 2002 18 146,043 2003 19 146,043 2004 20 146,043

Antag nu att försäljningsvärdena är mindre stabila, dvs Antag nu att försäljningsvärdena är mindre stabila, dvs. under den studerade perioden kan β0 tänkas ändra sig: Då är det bättre att använda ett  som är relativt stor, vilket innebär att senare observationer får större betydelse i prognosen. Låt =0.5

Analysis with MINITAB

Ett alternativ är också att göra uppdateringen med olika  och sedan välja det  som ger bäst successiva prognoser. Det finns också inbyggt i Minitab’s procedur:

Automatiskt val av utjämningsparameter i Minitab