Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer Fermi-Diracstatistiken vid olika temperaturer Hög T Låg T T=0 FF  F = Fermienergin

Partikel i boxen Tillåtna våglängder:Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):

För alla 3 rymdkoordinater gäller: När man har Fermi-Dirac statistik, gäller för Fermienergin: nyny nxnx nznz max n x 2 +n y 2 +n z 2 Maxenergin formar en åttondel av en kulyta med r = n 2. Volumen är:

När vi fyller de tillstånd med partikler med halvtalig spin, t. ex. elektroner, får vi plats för 2 elektroner per tillstånd med olik spin: Insättning i formeln för Fermienergin utgör:

Energin av hela ensemblen är: 2 partikler per tillstånd Ö vergång till polarkoordinater Genomsnittliga energin av en partikel är 60 % av Fermi-energin.

Antal av tillstånd per energi g(  ) är ett mått hur många tillstånd finns per energi

Graf av g(  ) vid T=0 g(  ) FF   <  F alla tillstånd fullt ockuperad  >  F ingen tillstånd ockuperad

FD vid laga temperaturer Vid T=0 räcker det att summera alla tillstånd från 0 till Fermi- kanten för att få antalet av partikler: g(e) = Antal av tillstånd per energi Vid laga T måste troligheten att tillståndet är ockuperad beaktas:

g(  ) FF  T=0 T>0 Graf av g(  ) vid T>0

Photon i boxen Tillåtna våglängder:Tillåtna energier

BE statistik för fotoner Om man betraktar en absorptions (eller emissions) process av en foton genom en elektron e - + h  e - så gäller i jämnvikt:  (e - ) +  (h ) =  (e - )   (h ) = 0 Planck- fördelning

I 3 dimensioner: 2 oberoende polarisationer per energi

L 3 =V Med x=  /kT

Rsin  Rsin  d Röda volymen: Fotonpassering genom ett hål Rd  R  cdt R=ct

Rd  R  cdt R=ct Alla fotoner kommer inte att passera hålet, bara de som har rätta vinkeln. Energiförlust: Fotonenergi i volym (U/V)  trolighet av passering (Pp) i tidsintervall dt. Acos  A

Energin som passerar med fotoner genom hålet: För totala energiförlusten gäller: Lag av Stefan-Boltzmann,  är Stefan-Boltzmann-konstanten 5.67 x Wm -2 K -4

T (box) =T (strålare) Om strålningen av boxen eller strålaren är intensivare, skulle en av dem uppvärmas men den andra svalnas  omöjligt. Betrakta en strålare med samma T och samma yta som hålet: Om strålningen en av dem är intensivare vid en viss våglängd, skulle man åstådkomma samma situationen med hjälp av en filter. Svarta strålare T (box) =T (strålare) Strålningen av en svart strålare har samma spektrum och samma intesitet som den från ett hål.

Jorden som svart strålare Intensiteten av solstrålningen är 1370 W/m 2, så kallade solarkonstanten. Jordtvärsnittet är R 2  Intensiteten av instrålning av solen är: Om man betrakta jorden som svarta strålare, så gäller I jämnvikt är P(in)=P(ut): Men: Jorden är ingen svart strålare, men reflektera 30 %. Denna förlust kompenseras med växthuseffekten.

Månen som svart strålare Månen saknar atmosfär, därför finns ingen konvektiv värmetransport. Om man antar lodrätt infall av solstrålen (på månekvatorn) och vet att månen reflekterar 7 % av infallande ljuset, är infallsintensiteten på 1m 2 : Månen är ingen perfekt svart strålare, den emitterar bara 96 % av ljuset som den skulle som svart strålare, så för 1 m 2 är: I jämnvikt gäller: som överensstämmer ganska bra med den uppmätta temperaturen 400K. 4.

Debyemodellen av fast kropp n=1 n=2 n=3 Vi betraktar en endimensions- kristall. Kristallatomer kan utföra vibrationer med följande vaglängder: För tillåtna energier gäller: c s = utbredningshastgheten av vibrationer = ljudhastighet

Vibrationer kan händer i 1 longi- tudinal och 2 transversala moder, därför inkludras en faktor 3. U i tre dimensioner: Området av tillåtna tillstånd har formen av en tärning i n x -n y -n z rum, Debye gjorde approximation med en attondel av en kula med samma volym. Volumen av kulattondelen måste utgör N, därför gäller: Debye-approximation nxnx nyny nznz

L=V 1/3 

Vid höga temperaturer gäller: Vid laga temperaturer:

Värmekapacitet av fast kropp Hög T Lag T Värmekapaciteten av en fast kropp

Ising modell av en ferromagnet I en paramagnet tenderar dipolmomenter av atomer att utriktar sig antiparallel till ett externt magnetfält. I en ferromagnet händer utriktningen av dipolmomenter spontant (utan externt fält) parallelt. Vi betraktar först 2 dipolmomenter bredvid varandra. Om vi fixer en till utrikning s=1 (“upp”) så finns s möjligheter s=1 (upp) och s=-1 (ned) för den andra med olika energier: E =  E = -  E = -s 

Om vi utvidga den här modellen till en 4x4-atomig planar kristall: Om vi antar alla utriktningar utav den röda (som har 8 grannar) är frusna, så gäller för energier av de två utriktningar vid den : E ned = (5-3)  2  och E upp = -2  Generellt gäller för energin för en dipol: med n = antal av granndipoler och s som deras genomsnittlig utriktning. E upp = -sn  E upp = sn 

Graf av s och tanh(s) Vid  n < 1 Vid  n > 1 s tanh(s) s stabil Enda stabila tillstånd med s = 0  ingen spontan utriktning stabil ostabil tanh(s) s Stabila tillstånd med s = 0  spontan utriktning

Stabilitetsgränsen ligger alltså vid  n = 1: T c kallas Curie-Temperatur Ferromagneter visar ferromagnetismen vid T T c bara vanliga paramagnetismen. Curietemperaturer Järn1024 K Nickel 627 K Kobalt1122 K Gadolinium 280 K

Varför är magnetisera järnet sig inte spontant vis rumstemperatur ? Bara några i sma områden (Weiss-områden) utriktar sig dipoler spontant parallelt: Utan externt magnetfält Weiss område Vid starkt externt magnetfält Vid ett starkt externt magnetfält kan man utrikta Weiss-områden parallelt och tillverka en permanentmagnet. B