Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer Presentation för självstudier mot ett godkänt betyg i Matematik B. Presentationen kan också användas som komplement till studier med lärare.

Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer För att en funktion skall bli en ”andragradsfunktion” måste följande term finnas med i uttrycket. Denna term måste också vara den potens i uttrycket med högst exponent.

Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer

Generell andragradsfunktion Bokstäverna a, b och c kallas för koefficienter och har stor betydelse för hur funktionens graf ser ut. De är också viktiga att hålla ordning på när vi löser andragradsekvationer. I bilden ovan ser vi att a = -7, b = -4 och c = 5

Andragradsekvationer Att lösa andragradsekvationer innebär oftast att man vill finna en andragradsfunktions rötter (nollställen) I bilden till vänster ser vi nollställena x = -9 & x = 1 Prova att sätt in talen i ekvationen nedan och se om det blir noll.

Symmetrilinje – max & min Andragradsfunktioner är symetriska kring en vertikal linje som brukar kallas symmetrilinje. Denna linje går alltid genom funktionens högsta eller lägsta värde.

Symmetrilinje – max & min

Andragradsekvationer Det finns olika typer av andragradsekvationer och man bör med fördel använda lite olika sätt för att lösa dem. En metod som jag kommer att kalla för p-q-formeln kan användas till de flesta, men det kan bli lite mycket onödigt jobb. I denna bilden och i några bilder framåt kommer jag att visa hur man kan lösa olika typer av andragradsekvationer. Vissa av dessa typer kan man öva på i programmet ”andragradsekvationer_FP”. Generell andragradsekvation som är lite svårare att lösa än de andra.

Andragradsekvationer Lösning Denna ekvation är den enklaste eftersom vi direkt ser att . Vi ställer oss alltså frågan: vilket tal multiplicerat med sig själv blir 12? Svaret är som ni alla vet ”roten ur 12” eller ”-(roten ur 12)”. I Google skrivs detta sqrt(12) eller –sqrt(12).

Andragradsekvationer Denna ekvation kan lösas på lite olika sätt och jag kommer här att visa två sätt.

Andragradsekvationer Nedanstående ekvationer är redan faktoriserade och klara och kan därför enkelt lösas med huvudräkning. Nedan visar jag hur man kan tänka.

Andragradsekvationer Nedanstående andragradsekvation kan lösas på många sätt och jag kommer att visa två här. Den första metoden bygger på en formel som vissa sammanhang kallas för p-q-formeln och i andra för ”betongborren”. (Kaspar 2005) P-q-formeln kan ni se till höger om ekvationen och som ni ser är den ekvation vi skall lösa väldigt lik den i p-q-formeln. p-q-formeln Exempel

Andragradsekvationer Byt tecken Byt tecken

Andragradsekvationer I bilden ovan testas lösningen genom att multiplicera lösningarna med varandra samt addera dem med varandra. Vid multiplikation skall vi alltid få q och vid addition skall vi få –p.

Algebra och kvadratkomplettering När vi löste ekvationen ovan använde vi p-q-formeln. Det går att lösa denna ekvation på andra sätt, men då behöver vi repetera lite grundläggande algebra från kurs A. Detta är väldigt nyttigt då man bl a på det nationella provet förväntas klara av denna typ av grundlägganda algebra. Nästkommande sidor är en förutsättning för att förstå nästa lösningsmetod som kallas för kvadratkompplettering

Algebra och kvadreringsregler Förs måste vi lära oss multiplikation från årskurs 5!

Algebra och kvadreringsregler Här tillämpar vi våra kunskaper i multiplikation på algebra med parenteser. Övertyga er om att ni verkligen förstår vad som händer.

Algebra och kvadreringsregler

Algebra och kvadreringsregler Att kvadrera parenteser kan göras med följande genväg.

Kvadratkomplettering som metod för att lösa andragradsekvationer

Länkar till övningar etc Övningar - Andragradsekvationer G Övningar – Analys av funktioner Program – Analys av funktioner Program – Lösning av andragradsekvationer Film – användning av p-q-formeln 45Mb Bra hemsida – www.mathprog.se