Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

Algebra och icke-linjära modeller 2.1 Polynom 2.2 Andragradsekvationer 2.3 Andragradsfunktioner 2.4 Potenser och potensekvationer 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer

GENOMGÅNG 2.1

POLYNOM Ett polynom är en summa av termer konstant koefficient variabel

DEFINITIONER ”ett genom” Exempel:

FORMELBLADET Nu är det dags att ta fram…

POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

POTENSLAGARNA

POTENSLAGARNA

POTENSLAGARNA

POTENSLAGARNA

VÄRDET AV ETT POLYNOM

PARENTESREGLERNA En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen.

ADDITION AV POLYNOM

SUBTRAKTION AV POLYNOM

FÖRSTA KVADRERINGSREGELN

FÖRSTA KVADRERINGSREGELN OBS! OBS!

ANDRA KVADRERINGSREGELN

ANDRA KVADRERINGSREGELN

KONJUGATREGELN

KONJUGATREGELN

Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

Multiplikation av polynom

MATTEBOKEN.SE

Faktorisering av polynom Bryt ut faktorn x ur följande polynom:

Faktorisering av polynom Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

Faktorisering av polynom Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

GENOMGÅNG 2.2 2.2 Andragradsekvationer

ANDRAGRADSFUNKTIONER Linjär funktion Andragradsfunktion Y = 2x - 3 Y = x2 - 3 Denna kan man även kalla ”förstagradsfunktion” En andragradskurva kallas även för parabel

ANDRAGRADSEKVATIONER -X +X Symmetrilinje

ANDRAGRADSEKVATIONER Symmetrilinje

ANDRAGRADSEKVATIONER Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

ANDRAGRADSEKVATIONER NOLLSTÄLLEN

ANDRAGRADSEKVATIONER Minpunkt Maxpunkt

ANDRAGRADSEKVATIONER Sidan 99 i Matematik 5000 2bc VUX-boken

ANDRAGRADSEKVATIONER Gör så här för att ta reda på vilka x-värden som ger funktionsvärdet noll (0). Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Kontrollera med DESMOS

ANDRAGRADSEKVATIONER Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen X = 2 och x = 8 Kontrollera med DESMOS

ANDRAGRADSEKVATIONER Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Kontrollera med DESMOS

FRIVILLIGT TILLÄGG TILL FORMELBLADET Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Talet gånger sig själv X = 2 och x = 8

Nollställe VAD är det som är noll på ett nollställe?

Nollställe VAD är det som är noll på ett nollställe?

ANDRAGRADSEKVATIONER Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

ANDRAGRADSEKVATIONER Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

ANDRAGRADSEKVATIONER Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen

GENOMGÅNG 2.3 2.3 Andragradsfunktioner

ANDRAGRADSEKVATIONER Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

ANDRAGRADSEKVATIONER Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

FRIVILLIGT TILLÄGG TILL FORMELBLADET Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Talet gånger sig själv X = 2 och x = 8

ANDRAGRADSEKVATIONER

ANDRAGRADSEKVATIONER Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

PQ-formeln

PQ-formeln

PQ-formeln ? DUBBELROT!

PQ-formeln ? DUBBELROT!

PQ-formeln ? LÖSNING SAKNAS!

ANDRAGRADSEKVATIONER Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot]

ANDRAGRADSEKVATIONER Minpunkt Maxpunkt

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2b VUX – boken, sid 114

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2b VUX – boken, sid 114

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2b VUX – boken, sid 115

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2b VUX – boken, sid 115

ANDRAGRADSFUNKTIONER Hur vet vi det? Matematik 2bc VUX – boken, sid 115

ANDRAGRADSFUNKTIONER b) (2,0) och (6,0) c) x = 2 och x = 6 d) x = 4 e) x = 4 Matematik 2bc VUX – boken, sid 116

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

ANDRAGRADSFUNKTIONER Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

ANDRAGRADSEKVATIONER Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

ANDRAGRADSEKVATIONER 1 1 Minimipunkt

Andragradsfunktioner - DESMOS Vad heter denna funktion?

Andragradsfunktioner - DESMOS Vad heter denna funktion?

Andragradsfunktioner - DESMOS Var skär kurvan och linjen varandra?

Andragradsfunktioner - DESMOS

Andragradsfunktioner Algebraisk lösning

Andragradsfunktioner Var skär dessa kurvor varandra? Lös den grafiskt.

Andragradsfunktioner Var skär dessa kurvor varandra? Nu kan vi använda PQ-formeln! Lös den algebraiskt.

Uppgift Lös denna på två sätt, grafiskt och algebraiskt. Var skär dessa kurvor varandra? Lös denna på två sätt, grafiskt och algebraiskt.

Uppgift Var skär dessa kurvor varandra?

Uppgift Var skär dessa kurvor varandra?

Andragradsfunktioner - DESMOS Ange en funktion som aldrig skär denna funktion: Gå till DESMOS!

Andragradsfunktioner - DESMOS Vad heter denna funktion?

GENOMGÅNG 2.4 2.4 Potenser och potensekvationer 82

Roten ur

Potensekvationer

Ekvationen xn = a

Ekvationen xn = a

OBS!

OBS! 5^(1/2) = 2,2360679775 5^(1/3) = 1,70997594668 5^(1/4) = 1,49534878122

GENOMGÅNG 2.5 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer 90

Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet Ökning med 5 % Ett exempel 210 kronor = 1,05 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1,05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren:

Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet Minskning med 5 % Ett exempel 190 kronor = 0,95 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 0,95 × 200 kronor = 190 kronor Minskning med 5 % Räknaren:

Flera procentuella förändringar William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a 200 000 kronor

Flera procentuella förändringar William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? A: Efter 5 år: B: Efter 5 år: Vilket sätt att skriva tycker Du är bäst? Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a 200 000 kronor

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år (antal upprepningar)

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden 61 000.

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas minska med 2 % varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden 41 000.

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?

Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 10-logaritmen för 5”

Logaritmer

Logaritmer

Logaritmer

Logaritmer Vad är x ?

Logaritmer

Logaritmer Enligt räknaren…

Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test] (2) lg(3*4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4*lg(3) = 1,90848501888 (2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test] (3) (3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test] 108

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmer - exempel lg(10)/lg(3) = 2,09590327429 10^(1/3) = 2,15443469003

MARKÖR HÄR!

Logaritmer - exempel lg(10)/lg(5) = 1,43067655807 10^(1/5) = 1,58489319246

Logaritmer - exempel lg(27)/lg(7,5) = 1,63572977578 27^(1/7,5) = 1,55184557392

Logaritmlagar

Logaritmlagar

Logaritmer med olika baser 4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

Logariter – ett exempel

Logariter – ett exempel På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109

Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid X = 3/(lg(2))*2400 = 23917,8822832 x = (3/lg(2))*24000 = 239178,822832 [2,4 × 105] 122

Vad är ”roten ur” minus 25?

PQ-formeln

PQ-formeln

PQ-formeln

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Socrative

MATEMATIK 2b Att kunna till prov 2

Kvadreringsregler och konjugatregel Vara säker på och kunna använda båda kvadreringsreglerna Vara säker på och kunna använda konjugatregeln

ab² och (ab)² Veta att ab² och (ab)² är olika saker

Utveckla och förenkla polynom Kunna utveckla och förenkla ett polynom liknande (a - b)(2c + d)

Ekvationer Kunna lösa ekvationer av typen 4 på sid 155 i boken

Andragradsfunktion Länk till DESMOS Veta hur en andragradsfunktion ser och hur den fungerar Länk till DESMOS

Andragradsfunktion Länk till DESMOS Veta hur man avgör minsta respektive högsta värde på en andragradsfunktion Veta vad som menas med symmetrilinje, vertex och nollställen Länk till DESMOS

Roten ur vs. upphöjt till en halv Veta att "roten ur" även kan skrivas som "upphöjt till en halv"

Arean av en triangel Vara säker på hur man beräknar arean av en triangel

Uppgift 17 sidan 157 Kunna lösa ekvationer av typen uppgift 17 sidan 157 i boken

Uppgift 13 sidan 159 Kunna lösa uppgifter av typen uppgift 13 sidan 159 i boken

Ett litet problem Kvadraten och Rektangeln har lika stora areor. Hur långa är sidorna och hur stor area har de båda figurerna?