Fysikexperiment 5p Föreläsning 5 På fysiklinjen görs en laboration benämnd ”Mätövning” där studenterna mäter strömmen I genom en resistor och spänningen U över resistorn vid många olika strömstyrkor. Därefter beräknas resistorns R resistant med Ohm’s lag R=U/I. Resistansen mäts alltså vid flera olika strömstyrkor och av olika studenter. Låt oss följa Sten Hellmans resonemang om pullfördelningen nedan och felsökning. Residual Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 Resistor 2005-10-04 01

Föreläsning 5 Fysikexperiment 5p Residual Student Ampere i.st.f mA för all de resistorer som student 41 mätte. Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 02 2005-10-04

Fysikexperiment 5p Föreläsning 5 Residual Resistor Residual 10 Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 2005-10-04 01

Föreläsning 5 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 02 2005-10-04

Systematiska fel Fysikexperiment 5p Föreläsning 5 Antag att vi mäter en variabel som har ett sant värde = 25, och med en mätmetod som ger en spridning = 5. Ju fler mätningar vi gör, desto bättre kommer våra mätta värden att likna en normalfördelning centrerad kring 25 och med s = 5. Det är viktigt att minnas att s är en egenskap hos mätmetoden (och i vissa fall hos den mätta variabeln), osäkerheten i bestämningen av medelvärdet ges som vi sett tidigare av där N är antalet mätningar Så länge detta är hela bilden så tycks vi kunna göra en godtyckligt noggrann bestämning av den mätta parametern bara genom att öka antalet mätningar. I realiteten fungerar inte detta, alla mätningar är förutom de slumpmässiga felen - som vi kan behandla med hjälp av våra statistiska metoder - också behäftade med systematiska fel. Dessa är per definition entyp av fel som inte kan göras mindre genom att upprepa mätningarna ett stort antal gånger. Systematiska fel är svåra att uppskatta - att upptäcka och minimera systematiska fel är en stor och viktig del av det som skulle kunna kallas experimentellt hantverkskunnande. Några exempel från g-labben: Längdskalan är fel: om linjaler och dylikt som används för att mäta fallhöjden är felaktiga, till exempel 10% för korta, så kommer alla mätningar av g som baseras på denna längdskala att vara 11% för stora (linjalen visar 1 meter viket vi sätter in i formeln, men i själva verket är s = 0,90). Tidsskalan är fel: om klockan som mäter tiden går 10 procent för fort så kommer alla mätningar av g att bli 20 procent för stora. Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 2005-10-04 01

Uppe Nere Föreläsning 5 Fysikexperiment 5p Av detta lär vi oss: 1 - Alla mätinstrument vi använder är potentiella källor till systematiska fel. Det finns tre sätt att ta hänsyn till dessa, eller förbättra noggrannheten: A) Kalibrera instrumentet mot ett annat med bättre noggrannhet. ”Ta tiden på fröken ur”. Detta förutsätter att man har enkel tillgång till ett sådant. Man får inte glömma att jämförelsen i sig är en mätning, man måste s till att det statistiska felet i denna blir mindre än det systematiska felet vi vill komma åt. B) Gör först en mätning där man känner svaret och använd denna för att sätta en gräns för det systematiska felet. Den här metoden måste användas med förnuft, C) Läs manualen för instrument. Tillverkarna anger här hur stor precision man kan förvänta sig för ett givet mätinstrument. 2 Det är inte alla systematiska fel som är lika betydelsefulla i en mätning, spendera tid och möda på de viktigaste först. Alla systematiska fel är inte av instrumentell natur: NU! Tag till exempel försöket där kulan släpps från 5:e våningen. Tidtagningen kommer att påverkas av: 1 - reaktionstiden hos tidtagaren 2 - ljudhastigheten 1 - kan minimeras genom att försöka göra betingelserna vid släppandet av kulan och när kulan faller ned så lika som möjligt. 2- kan ge en systematisk effekt beroende på var tidtagaren befinner sig: Mätt falltid = falltid + ljudets gångtid Reakt Ljudet Reakt Uppe Nere Falltid Mätt falltid = falltid - ljudets gångtid Ljudet Reakt Reakt Falltid Misstänker man att ljudhastigheten kan vara av betydelse är första steget att göra två mätserier, en där tidtagaren står uppe, en där hon står nere. Jämför man serierna och ser att det finns en skillnad som är konsistent med att ljudhastig- heten påverkar så kan man här anta att medelvärdet av de två serierna ger ett korrekt värde. Den stora svårigheten ligger i att identifiera den här typen av källor till systematiska fel, ett sätt är att tänka tänka tänka - man lär sig med tiden! Ett annat sätt är att pröva att ändra betingelserna. Misstänker man att en uppställning till exempel är riktningsberoende vrider man apparaturen 180 grader och tar en serie där och jämför. Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 02 2005-10-04

Fysikexperiment 5p Föreläsning 5 När det systematiska felet väl är identifierat och uppskattat så återstår att avgöra hur det skall behandlas. Att en tillverkare anger att ett mätinstrument har en osäkerhet om 1% kan betyda (minst) två saker: Alternativ 1: Alla mätinstrument kalibreringsmäts före leverans. De som har fel större än en procent sänds tillbaka för korrektion. Vi kan då vara säkra på att inget instrument visar mer än 1% fel. (vid leverans!) Vi har dock ingen aning om hur instrumenten är fördelade i detta intervall. Alternativ 2: Alla mätinstrument kontrolleras vid leverans, och deras avvikelse noteras. När man analyserar dessa statistisk finner man att de beskrivs av en normalfördelning som är centrerad kring noll och med bredd 1 %. Vi kan då vara säkra på att just vårt mätinstrument visar korrekt värde ±1% med en sannolikhet av 68%. Det finns inga klara recept för hur man kombinerar ett systematiskt fel med ett slumpmässigt, eller för den delen hur man kombinerar fler olika bidrag till ett systematiskt fel. Ofta kombinerar man alla systematiska effekter till ett systematiskt fel genom att addera kvadratiskt, och kombinerar sedan den systematiska felet med det slumpmässiga på samma sätt. Man kan dock välja att presentera de bägge felen separat: Det finns skäl både för och emot att kombinera ihop systematiska och statistiska (slumpmässiga) fel till ett totalt fel. att redovisa dem separat är ärligt och korrekt (bortsett från eventuella slamkrypare när de olika komponenterna i det systematiska felet kombinerats ihop) om man skall jämföra resultatet med en teoretisk förutsägelse måste man beakta det totala felet. Man kan ofta hävda att det är den som gjort experimentet som är den som är bäst lämpad att avgöra hur statistiska och systematiska fel skall kombineras ihop. När man kombinerar resultat från fler experiment måste man vara extra noga med den systematiska komponenten i felet, ofta finns det systematiska fel som är gemensamma för alla experiment och som inte skall adderas ihop. Antag till exempel att det finns en systematisk osäkerhet i bestämningen av lufttrycket på 1 procent som ger ett systematiskt fel i ΔP i alla mätningar - detta fel är detsamma för alla mätningar som genomfördes den dagen! Att kombinera data från fler experiment kan - när man kommer ner i mätningar med mycket hög precision - kräva en mycket ingående kännedom om experimenten i sig. Ofta är det omöjligt att göra utan att samarbeta med dem som gjort experimentet. Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 2003-10-04 03

Föreläsning 5 Fysikexperiment 5p Att planera ett experiment För att en experimentell mätning skall bli lyckad krävs att vi ägnar tillräcklig omsorg åt tre faser: 1 - Planering och förberedelser 2 - Genomförandet 3 - Analys och rapport. De här stegen bygger på de föregående, det går inte att göra en bra analys och rapport om mätningen inte genomförts på ett bra sätt, och genomförandet bygger på att man tänker efter litet i förväg. Att planera och förbereda är något som man stegvis blir allt bättre på i takt med att man får mer och mer erfarenhet. Vad är det vi vill veta, och varför? Förstå den underliggande teorin. I vardagligt språkbruk har ”att göra experiment” en klang av att man prövar sig fram och ser vad som händer. I fysiken är innebörden snarare att man försöker renodla frågeställningarna till de som har betydelse för den test av olika teorier som ofta är det man är ute efter. Det är mycket enklare att sätta upp ett bra experiment om man har en så specifik frågeställning som möjligt. ”Faller en tung kropp snabbare än en lätt” eller ”Accelereras en kropp som faller i gravitationsfältet likformigt” är i det här avseendet bättre frågeställningar än ”Hur faller kroppar under inverkan av tyngdkraften” . Många gånger kan det vara så att konkurrerande teorier ger exakt samma förutsägelser i vissa situationer, samtidigt som de ger helt olika förutsägelser i andra situationer. Det är naturligtvis viktigt att man försöker hitta situationer där skillnaden mellan olika teorier är så stor som möjligt. Läs på - vad har andra gjort, (vad står det i labinstruktionen) Man skall alltid komma så väl förberedd som möjligt till mätsituationen. För laborationer inom kurserna på fysikum betyder det i ju oftast att man läser igenom labinstruktionen i god tid innan och ”gör laborationen i huvudet”. I en situation där man inte har en färdig instruktion att hålla sig till kan man söka i litteraturen och se vad andra som sökt lösa liknande problem har gjort. Det sista steget i förberedelsearbetet blir att inför sig själv skriva en ”labb-instruktion”, detta är ett utmärkt sätt att se till att alla nödvändiga fakta kommer med. Tänk igenom mätningarna, vilka felbidrag är viktigast, vad kan göras för att minimera dessa? Se till exempel mätningen av g genom fritt fall där vi fick beräknar vi det relativa felet får vi Osäkerheten i de två variablerna vi mäter har alltså inte samma betydelse för den slutliga osäkerheten, den relativa osäkerheten i mätningen av sträckan kan vara dubbelt så stor som den i tiden innan den får samma inverkan på det slutliga resultatet. Det är ju inte självklart att s och t har samma relativa fel, detta är en av de första punkterna man bör undersöka med en preliminär mätning - vilka relativa fel kan vi förvänta oss, och hur matchar de betydelsen av de olika termerna i det totala felet. Det kan vara bortkastad möda att försöka förbättra mätningen av sträckan om osäkerheten i tiden dominerar resultatet. Hur kan vi renodla mätningen? Det gäller naturligtvis att skala bort så mycket som möjligt av ovidkommande faktorer: vill vi testa om lätta och tunga kroppar faller lika snabbt är det en fördel om de har samma storlek och form så att inte dessa faktorer spelar in. Vilka systematiska effekter kan man förutse, och hur kan dessa elimineras eller minimeras? Det här är en punkt där man oftast får pröva sig fram och använda sin erfarenhet och fantasi, man kan inte försöka att uppskatta eller eliminera en systematisk effekt som man inte har tänkt på. Sättet att försöka minimera effekterna kan sedan skifta. Tror man att experimentet är känsligt för riktning så provar man att utföra experimentet i olika riktningar och se om mätserierna har systematiska olikheter. Misstänker man att luftmotståndet påverkar resultatet i ett fallförsök kan man låta tillverkar kroppar med samma massa men olika storlek och se om man får systematiska effekter och i så fall försöka extrapolera bort dessa. Kan apparatur och procedurer kalibreras på något vis? Ofta kan vi kalibrera vår mätutrustning genom att mäta något som redan är känt med god precision. Man får inte glömma att en sådan kalibrering är en mätning som i sig är behäftad med en experimentell osäkerhet som måste finnas kvar genom vår mätning. Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 04 2005-10-04

Fysikexperiment 5p Föreläsning 5 Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 05 2005-10-04

Föreläsning 5 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 05 2005-10-04

Föreläsning 5 Fysikexperiment 5p Dimensionsanalys Många gånger kan man bilda sig en uppfattning om hur ett funktionssamband ser ut genom att betrakta dimensionen (det vill säga ”sorten”) i de variabler som ingår. Vi utgår från att naturen är ”snäll” och regelbunden, så att de exponenter som ingår i våra formler är heltal, eller åtminstone heltalsbråk. Betrakta till exempel tiden för en pendelrörelse. ”Alla vet” att den beror på pendelns längd. Ni som följer kursen i mekanik vet också att den beror på tyngdaccelerationen g. Men hur ser sambandet ut? Dimensionsanalys ger svaret. Antag att: där A är en dimensionslös konstant, detta ger Som mest kraftfull är dimensionsanalys i de fall där man med hygglig visshet kan tänka ut vilka storheter som kan ingå i uttrycket. Att träna sig i sådan överläggningar ger en god känsla för den underliggande fysiken. Tag ett exempel till - centrifugalkraften. Vi vet att det är en tröghetskraft, så massan bör ingå. De flesta vet också av erfarenhet att banans krökningsradie och hastigheten spelar roll (jämför hur det känns att åka bil snabbt och långsamt genom tvära och flacka kurvor). Sen kan i alla fall inte jag komma på något mer. Detta leder till följande: Det är inte i alla fall som dimensionsanalys har en entydig lösning och ger ett otvetydigt svar på hur sambanden ser ut. I dessa fall kan man ändå ha nytta av att göra den här typen av ansatser, för att sedan bestämma exponenterna i mätningar. Om vi antar ett samband av typen X = aa bb cg dd ee så ger logaritmering: ln(X) = a ln(a) + bln(b) + g ln(c) + d ln(d) + e ln(e) Om vi håller alla andra parametrar konstanta och varierar till exempel a och plottar X mot a i ett log-log diagram så kan vi bestämma a som riktningskoefficienten i detta diagram. Detta förfarande upprepas med de andra variablerna. När man bestämt alla utom en exponent så kan den sista i princip bestämmas genom dimensionsanalys, men man kan också välja att bestämma även denna för att få en möjlighet att kontrollera att ansatsen är rimlig. Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 05 2005-10-04