Från att värdera ett enstaka fastighetsobjekt till att göra en fastighetsprisprognos avseende Mats Wilhelmsson KTH

2 Vad skall vi göra idag? Repetera regressionsanalys –Skattningar –Precision –Förklaringsgrad –Hypotesprövningar Dummy variabler Funktionsformer Residualanalys Fastighetsprisindex Tidsserieanalys Utvärdering av prognosmodell Projektarbete 1 och 2

3 Resurser under kursens gång OH-bilder Ingemar Kort beskrivning av regressionsanalys Artikel – ”Mass appraisal” E-böcker –A guide to modern econometrics Författare: Verbeek, Marno –Handbook of applied econometrics and statistical inference Författare/editor: Ullah, Aman.; Wan, Alan T. K.; Chaturvedi, Anoop

Repetition

5 Regressionsanalys Vi vill ha svar på frågan hur mycket kommer y att förändras om x ändras med enhet. 1.Sambandets funktionsform 2.Tillåta att andra saker än x kan påverka y 3.Fånga upp ceteris paribus samband mellan y och x.

6 Regressionsanalys 1.Linjärt samband mellan y och x 2.”Error term” inkluderas för att fånga upp att andra saker än x påverkar y 3.”Zero conditional mean” antagandet möjliggör för oss att skatta ceteris paribus effekter.

7 Härledning av parametrar Utgår från ”Zero Conditional Mean” antagandet

8 Sample Regression Line.... y4y4 y1y1 y2y2 y3y3 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 } } { { û1û1 û2û2 û3û3 û4û4 x y

9 Väntevärdesriktigt om… 1.populationsmodellen är linjär i parametrarna: y =  0 +  1 x + u 2.ett slumpmässigt urval av storleken n 3.E(u|x) = 0 och således E(u i |x i ) = 0 4.det finns en variation i x i

10 Tolkning Ekonomisk tolkning –  0 : det förväntade värdet av y om x är lika med noll –  1 : om x ökar med en enhet så ökar y med b enheter (mätt i samma enhet som y)

11 Exempel: Hedonisk Prisekvation Priset på en fastighet är en funktion av de underliggande värdepåverkande attributen. Sambandet mellan pris och attribut skattas mha regressionsanalys. Estimerade parametrar är attributens implicita priser (hedoniska priser).

12 Den Hedoniska Prisekvationen Fastighetsknutna egenskaper (F) Områdesknutna egenskaper (O) Tidsberoende egenskaper (T)

13 Värdepåverkande attribut

14 Fler tänkbara attribut…. Antal rum Renoveringsbehov Inre/yttre Byte av vitvaror/tvätt/el Dränering av grund Kabel-tv,bredband,Centraldammsugare Garage, bastu, bad, bubbelbad, pool, sjöutsikt Kakelugn/öppen spis 3-glasfönster, snålspolande toaletter/blandare Vatten/fuktskadat Fasad/tak Ventilationssystem Värmesystem Produktion/Distribution Närhet till Allm. Kommunikationer Service Störning av Väg, tåg, flyg, kraftledningar

15 Exempel

16 Precision Säkerheten hos modellen kan bl.a. mätas med hur stor spridningen i modellen är. Ju mindre spridning desto bättre modell. Spridningen mäts med variansen och standardavvikelsen. Antar homoskedasticitet Variansen hos a och b beror på modellens varians, antalet observationer samt medelvärdet och spridningen i den oberoende variabeln.

17 Precision Standardfel hos skattningen av y Standardfelet hos skattningarna b 0 och b 1

18 Modellen förklaringsgrad Determinationskoefficienten, ”goodness of fit”, R-square, R 2 SST: Total variation i den beroende variabeln SSE: Variation som kan förklaras av modellen SSR: Oförklarad variation TSS=SSE+SSR R 2 =SSE/SST=1-SSR/SST

19 Modellen förklaringsgrad Determinationkoefficient (R 2 )

20 Justerat R-Squared R 2 ökar alltid ju fler variabler vi har med I modellen Justerat R 2 tar hänsyn till detta genom att ställa antalet oberoende variabler i relation till antalet observationer

21 Exempel

22 Hypotestest Kan vi dra några slutsatser angående populationen med hjälp av urvalet? Till vår hjälp använder vi både lägesmått (medelvärdet) och spridning (standardavvikelsen). Genom att skatta en teststorhet och jämför det mot ett kritiskt värde kan vi förkasta eller acceptera en hypotes. Om förkastas, den oberoende variabeln har en inverkan.

23 Hypotestest Modell:y = a + b 1 *x 1 + b 2 *x 2 Hypotes:H 0 :  1 = 0 H 1 :  1  0 Vi antar att parametrarna har en normalfördelning med det förväntade värdet  och variansen  2 b, dvs b 1  N(  1,  2 b1 ) Normalisera

24 Hypotestest Om,  b1 är okänd använder vi oss av skattningen av  b1 istället, vilket innebär att kvoten är t-fördelad istället för normalfördelad, dvs t är teststorheten t n-k-1 (  ) är det kritiska värdet Förkasta H 0 om t > t n-k (  )

25 Hypotestest

26 Hypotestest Om teststorheten är större än det kritiska värdet  förkasta nollhypotesen. Kritiskt värde (dubbelsidigt test): t  /2 (n-k-1) –där  är signifikansnivån och (n-k-1) antalet frihetsgrader. Vanligtvis använder man sig av signifikansnivån 5% och 1%. Jmf. H 0 : Ej begått mord –5% chans att vi förkastar nollhypotesen att den åtalade ej begått mord, dvs vi dömer en oskyldig för mord.

27 Exempel

28 Funktionsform Inte troligt att vi har ett linjärt samband mellan y och x i den meningen att y ökar med lika mycket oberoende hur mycket av x vi har initialt. I tillämpade studier finner vi oftast att variablerna är transformerade, tex att alla kontinuerliga variabler är logaritmerade. Varför? –Vi vill att effekten skall uttryckas som en procentuell effekt.

29 Sammanfattning av olika funktionsformer ln(y) =  0 +  1 ln(x) + u y ökar med  1 procent om x ökar med 1 procent ln(y) =  0 +  1 x + u y ökar med (100  1 ) procent om x ökar med 1 enhet y =  0 +  1 ln(x) + u y ökar med (  1 /100) enheter om x ökar med 1 procent.

30 Exempel – ln(pris)

31 Dummyvariabel En binär variabel som indikerar om en viss enskild observation (objekt) har en viss egenskap eller ej. Om koefficientskattningen är signifikant skild från noll så innebär det att regressionsmodellen skiftar Går att kombinera dummyvariabeln med kontinuerliga variabler.

32 Dummy variabel som oberoende variabel Antag en enkel modell där vi har en kontinuerlig variabel (x) och en dummy variabel (d) y =  0 +  0 d +  1 x + u Kan tolkas som ett skift i konstanten Om d = 0,  y =  0 +  1 x + u Om d = 1,  y = (  0 +  0 ) +  1 x + u

33 Exempel om  0 > 0 x y { 00 } 00 y = (  0 +  0 ) +  1 x y =  0 +  1 x lutning =  1 d = 0 d = 1

34 Interaktion med dummyvariabler Man kan också kombinera en dummy variabel, d, med en kontinuerlig variabel, x y =  0 +  1 d +  1 x +  2 d*x + u Om d = 0,  y =  0 +  1 x + u Om d = 1,  y = (  0 +  1 ) + (  1 +  2 ) x + u –Tolkas som om lutningen ändras

35 y x y =  0 +  1 x y = (  0 +  0 ) + (  1 +  1 ) x Exempel om  0 > 0 and  1 < 0 d = 1 d = 0

36 Exempel

Residualanalys

38 Varför bekymra sig för Heteroskedasticitet? OLS ger fortfarande väntevärdesriktiga och konsistenta skattningar även om vi inte antar homoskedasticitet MEN, standardavvikelsen avseende våra estimat är icke väntevärdesriktiga om vi har heteroskedasticitet Om standardavvikelsen är icke väntevärdesriktig klan vi EJ genomföra våra hypotesprövningar.

39 Breusch-Pagan Test Ett test som avser att undersöka om heteroskedasticitet förekommer eller ej. Feltermen är okänd men vi har residualerna från OLS regressionen. Om vi kör regressionen residualerna i kvadrat mot alla oberoende variabler så kan vi nyttja R 2 och göra ett F test F-värdet anger om regressionsmodellen som helhet är statistiskt signifikant eller ej. Ett ”högt” F-värde innebär att de oberoende variablerna kan förklara variationen i residualerna, vilket vi inte vill. F = [R 2 /k]/[(1 – R 2 )/(n – k – 1)], med fördelningen F k, n – k – 1

40 Exempel

41 Exempel - test

Konstruktion av Prisindex

43 Priser över tiden I Exempel 1 hade vi information avseende transaktioner över en 1-års period. Tog inte hänsyn till inflationen. Implicit antog vi att priserna har inte förändrats nominellt under år – Rimligt antagande? Skulle ha kunnat: –Deflaterat de nominella priserna med tex fastighetsprisindex (FPI) eller konsumentprisindex (KPI). –Inkluderat en kontinuerlig variabel för att ta hänsyn till tid. –Inkluderat års/kvartals/månads ”dummies”.

44 Fastighetsprisindex (FPI)

45 FPI och KPI I löpande priser har priset för småhus ökat med 253% mellan 1981 och I fasta priser är dock ökningen endast 42%, dvs en stor del av ökningen är ett resultat av inflation. Men fastighetspriserna har ökat snabbare än den genomsnittliga prisnivån 101/118*100=86

46 FPI (löpande och fasta priser)

47 Några enkla metoder att skapa fastighetsprisindex 1.Medelvärde (pris eller kvadratmeterpris) 2.Median 3.K/T-värde (Köpeskillingskoefficient)

48 Varför är inte medelvärde och K/T- värde lämpligt vid skapande av fastighetsprisindex? Tar inte hänsyn till att olika typer av fastigheter säljs vid olika tidpunkter, dvs att urvalet förändras över tiden. Dvs varan bostad/småhus är inte en homogen vara över tiden. Taxeringsvärdena har inte uppdaterats årligen. K/T-värden från två olika taxeringsperioder kan därför inte direkt jämföras.

49 Bättre metoder att beräkna fastighetsprisindex Metoder som tar hänsyn till att olika typer av fastigheter omsätts under konjunkturcykeln. Hedoniskt prisindex

50 Hur beräknar man ett hedoniskt prisindex? Använder sig av både tvärsnitt och tidsseriedata. Specificerar en ”hedonisk” prisekvation där vi antar att en fastighets värde är en funktion av dess egenskaper. Skattar implicita priser avseende egenskaperna. Inkluderar dummy variabler för tid i modellen. En dummy variabel för varje tidsenhet som man är intresserad av (tex år, kvartal eller månad). Exkluderar en tidsenhet för jämförelse. Koefficienterna avseende dummy variablerna är lika med prisindexet.

51 Jämförelsemånad: december Januari var priserna kr högre än december. Obs inga signifikanta skattningar.

52 Jämförelsemånad: december januari var priserna 2,8% högre än december. Obs! inga signifikanta estimat.

53 PROJEKTARBETE 1 Provtaxering Data avseende 3 år Områden i Lund Skall taxera ett antal fastigheter och jämför er taxering med skatteverkets och den ”sanna” taxeringen (dvs 75% av marknadsvärdet). Grupper om två Muntlig redovisning vecka 9

54 Vad förklarar fastighetspriset över tiden? Jämviktsvillkor Hyresvärdet (HV) motsvarar de samlade kostnaderna för bostadskapitalet P*=huspriser i real termer (1-  r )r=räntan på lånat och eget kapital efter skatt  p e =prisappreciering  =inflation Underhåll och drift

55 Kan skrivas som Där I=inkomster och D=demografiska faktorer speglar efterfrågesidan och H=bostadsstocken speglar utbudssidan. Empiriskt kan vi lösa det genom att skatta följande funktion:

Tidsserieanalys

57 Tidsseriedata vs. Tvärsnittsdata Tidsseriedata har en tidsordning till skillnad mot tvärsnittsdata. Det är av stor vikt att inte ändra ordningen. Vi måste ha en modell som tillåter att historien kan påverka framtiden, men inte tvärtom. Eftersom vi har data som är ordnande i tiden måste vi lägga till antaganden om hur feltermen (residualen) får bete sig över tiden.

58 TvärsnittsdataTidsseriedata Heteroskedasticitet Autokorrelation Icke-stationär Breusch-Pagan Test AR(1)-Test PROBLEM DATA TEST

59 Exempel på tidsseriedata modeller En statisk modell där variablerna påverkar y direkt: y t =  0 +  1 z t + u t En laggad (dynamisk) modell tillåter att en eller flera variabler påverka y med en lag: y t =  0 +  0 z t +  1 z t-1 +  2 z t-2 + u t

60 Statisk Modell FPI t =  0 +  1 BNPI t + u t OBS! INDEX Tolkning: Procentenhet

61 Tolkning FPI och BNP är index med 1967=100 Ekonomisk tolkning – om BNP gick upp med en procentenhet föregående år så kommer FPI att gå upp med 0.69 procentenheter. Statistisk tolkning – modellens förklaringsgrad, genomsnittligt fel, statistisk signifikans av enskilda parametrar.

62 Statisk Modell Ln(FPI t ) =  0 +  1l (BNPI t ) + u t Tolkning: Procent

63 Dynamisk modell Ln(FPI t )=  0 +  1 Ln(BNP t-1 ) + u t Tolkning: Procent

64 Antaganden 1.Linjär i parametrarna 2.Det förväntade värdet av feltermen betingat på den oberoende variabeln skall vara lika med noll.  X strikt exogena 3.Ej perfekt linjärt samband mellan oberoende variabler 4.Homoskedasticitet 5.Ingen autokorrelation 6.Normalfördelning NYTT!

65 OLS skattningarnas varians Homoskedasticitet –Var(u t |X) = Var(u t ) =  2 Variansen är oberoende av alla x samt konstant över tiden Ingen autokorrelation: –Corr(u t,u s | X)=0 for t  s

66 Autokorrelation Om antagandet inte är uppfyllt: om u t-1 >0 kommer feltermen i nästa period också att vara positiv i genomsnitt.

67 Varför problem? Effektivitet – det finns andra metoder än OLS som ger mer effektiva skattningar, dvs med lägre varians. Dock är OLS parameterskattningar väntevärdesriktiga. Hypotesprövning – variansen är inte väntevärdesriktig vilket innebär att hypotesprövning och konfidensintervall inte längre är tillförlitliga.

68 Hur testa för autokorrelation? AR(1)-test AR(1) = Autoregressive modell där den beroende variabeln är en funktion av den beroende variabeln laggad 1 år. y t =  y t-1 + e t, t = 1, 2,… Test av AR(1) autokorrelation Vi vill testa nollhypotesen  = 0 i u t =  u t-1 + e t, t =2,…, n Om ej förkasta H 0 (lågt t-värde)  ingen autokorrelation

69 Exempel – Dynamisk modell Autoregressive modell Residualen idag är en funktion av residualen igår. Om signifikant parameter-autokorrelation.

70 Exempel – Dynamisk modell Under viss perioder är fastighetspriserna betydligt lägre än vad BNP predicerar och ibland högre. Verkar dock finnas ett mönster, vilket inte är bra.

71 Orsaker? Tröghet – tidsseriedata, av psykologiska skäl har historiska händelser en stor effekt på dagens händelser så att ett positivt fel i föregående period påverkar aktiviteten idag. Långsiktigheten – tidsseriedata, en slumpmässig chock på en marknad kan ha långsiktiga effekter, tex krig. Specifikationsfel – val av ingående variabler, funktionsform.

72 Fel funktionsform

73 Vad göra? Fler förklarande variabler (t.ex. i vårt fall en dummyvariabel som indikerar bankkrisen mellan ). Andra funktionsformer –Log-log –Nivå-log –Log-nivå Första-differensen – förändringsdata istället för nivådata

74 Trendade tidsserier Ekonomiska tidsserier har ofta en trend. Bara för att två serier är trendade tillsammans kan vi inte anta att det finns ett kausalt samband. Oftast är serierna trendade för att det finns någon icke-observerbar faktor som är gemensam, men som inte är inkluderad i modellen. Även om dessa faktorer är icke-observerade kan vi kontrollera för dem genom att direkt inkludera en trend i våran modell.

75 Inkludera trend i modellen En möjlighet är en linjär trend y t =  0 +  1 t + e t, t = 1, 2, … En annan är en exponentiell trend log(y t ) =  0 +  1 t + e t, t = 1, 2, … Eller en kvadratisk trend y t =  0 +  1 t +  2 t 2 + e t, t = 1, 2, …

76 Exempel – FPI

77 Exempel – FPI – kvadratisk trend

78 Exempel – FPI – exponentiell trend

79 Varför problem? Uppfyller inte antagande nr. 2 –Det förväntade värdet av feltermen betingat av våra oberoende variabler är inte lika med noll. X är inte exogent given. DVS våra parameterskattningar avseende intercept (konstant) och lutningskoefficient är inte väntevärdesriktig. Kan ej göra vare sig ekonomisk eller statistisk tolkning av skattningarna. DVS vi kan inte tolka i termer av ceteris paribus (allt annat lika).

80 Exempel BNP och FPI

81 Autokorrelation? – JA!

82 Stationära serier En trendad serie kallas för icke-stationär eftersom medelvärdet förändras med tiden. En enkel regression med y t som beroende variabel och x t som oberoende variabel och båda är icke-stationära innebär att t-värdena kommer ofta att vara signifikanta även om det inte finns ett samband. Vanligtvis också ett högt R 2. Kallas för “spurious regression problem”

83 Transformera serien Om det inte räcker med att inkludera en trend i specifikationen av modellen utan vi fortfarande har en icke-stationär serie måste vi transformera serien. Oftast räcker det med att använda sig av första- differensen för att få en stationär serie.

Prognos och Utvärdering av Prognos

85 Prognosmodell Tidsseriedatamodeller används vanligt som prognosmodell vid sidan om förklaringsmodeller. Viktigt att vi därför utvärderar dess prognos- egenskaper. Problem med att endast analysera koefficienter, t-värden och modellens förklaringsgrad då dessa bygger på ”in-sample” prognoser (skattningar). En mer realistisk situation är att utvärdera modellen utifrån dess ”out-of-sample” prognoser.

86 Prognosmodell med utvärdering Anta att vi har data från Antag att vi vill förklara prisutvecklingen på småhus med hjälp av BNP-utvecklingen (laggad 1 år). Genom att använda hela datamängden kan vi göra prognos avseende I och för sig får vi en skattad pris för hela perioden men det är en ”in-sample” prognos. Genom att beräkna ett antal prognosmodeller med olika datamängd så kan vi göra ”out-of- sample” prognoser.

87 Utvärderingsmodell Istället för en prognosmodell estimerar jag 5 prognosmodeller som kommer att ge mig en prognos avseende som kan användas för utvärdering och 2007 som är en prognos kan användas för utvärdering då vi både har en prognos och ett utfall Utvärdering

88 Jämförelse För att kunna jämföra min prognosmodell med något så tar jag fram ett antal jämförelseprognoser. Det kan tex vara andra prognosmodeller med andra variabler, med annan laggning eller funktionsform. Det kan också utgöras av betydligt enklare prognoser som tex –Samma utveckling nästa år som i år –Glidande medelvärde –Autoregressive modell tex AR(1)

89  Pris t =  +  BNP t-1 + e t

90 Prognos 2007 Bra/dålig prognos?

91 Ettårsprognoser Prognosen för 2005 bygger på en modell med endast Prognosen för 2006 bygger på en modell med endast Prognosen gör 2007 bygger på hela datamängden Prognosfel har vi för 2 år ( ).

92 Mått på genomsnittligt prognosfel Det genomsnittliga prognosfelet uppgår till 25 procentenheter per år.

93 Jämfört med andra prognoser… Vår mycket enkla modell är sämre än de båda naiva modellerna. Varför? saknar viktiga variabler priser i nominella termer, troligtvis trendade serier även om vi använder förändringsdata.

94 Långa prognoser Betydligt svårare Om vi vill göra en längre prognos än ett år måste vi lägga in antaganden om BNP-utvecklingen (eftersom modellen är laggad med bara ett år). Naturligtvis kan man själv göra en prognosmodell avseende BNP och andra makroekonomiska variabler eller Så kan man använda de prognoser som tex Konjunkturinstitutet tar fram. Tolkningen blir då betingat av KIs prognos.

95 Lång Prognos KIs prognos avseende BNP och KPI för åren

96 PROJEKTARBETE 2 Skatta en prognosmodell Utvärdering av prognosmodell Data avseende Sverige Du skall göra en prognos avseende 2009 med den modell som du anser lämpligast. Grupper om två. Redovisning vecka 9.