KVALITATIV ANALYS - BALK & RAM Byggnadsmekanik gk 12.1 Exempel 1 KVALITATIV ANALYS - BALK & RAM P Syftet med en kvalitativ analys av en balk eller en ram är att bestämma : stödreaktionernas riktningar formen av det böjande momentet formen på nedböjningskurvan Stödreaktionerna är självklara. P Regel 1 : momentdiagrammet ritas på den sida av balken (över- eller underkant) som är dragen. Regel 2 : om lasten består av punktkrafter, utgörs momentdiagrammet av raka linjer mellan punktkrafterna. Orsaken är att tvärkraften V är konstant mellan punktkrafterna och att V = dM / dx Momentet är noll vid stöden och linjärt mellan punktkrafterna. Under kraften P råder dragning på underkanten. M P rak

Byggnadsmekanik gk 12.2 Exempel 2 Exempel 3 P P Stödreaktionerna kan bestämmas med kvalitativa momentekvationer kring stödena. Balken är statiskt obestämd av grad 1. Stödreaktionerna kan bestämmas med en kvalitativ kraftmetod. Reaktionen vid vänstra stödet: Om stödet tas bort går balken neråt vid stödet. För att denna förskjutning försvinner måste en kraft uppåt appliceras vid stödet. Denna kraft är stödreaktionen. P M är noll vid ändarna och M-diagrammet består av två raka linjer. Kraften P skapar dragning på överkanten över mittstödet. M P P

Samma metod kan användas för de två andra stödreaktionerna. Byggnadsmekanik gk 12.3 Samma metod kan användas för de två andra stödreaktionerna. M är noll vid ändarna och M-diagrammet består av tre raka linjer. För att kunna rita det räcker det att veta hur det ser ut under kraften P och vid mittstödet: Under kraften P råder dragning på underkanten. Genom att snitta vid mittstödet och betrakta högre delan av balken ser man att momentet vid snittet skapas av stödreaktionen vid högre stödet. Denna stödreaktionen skapar dragning på överkanten vid snittet. P P Stödreaktioner M P P

Byggnadsmekanik gk 12.4 Regel 3 : led  M = 0 M är noll vid ändarna, noll vid leden, och M-diagrammet består av tre raka linjer. För att kunna rita det räcker det att veta hur det ser ut antingen under den kraften P eller vid mittstödet: Genom att snitta vid mittstödet och betrakta högra delen av balken ser man att momentet vid snittet skapas av stödreaktionen vid högra stödet. Denna stödreaktionen skapar dragning på överkanten vid snittet. Exempel 4 P Balken är statiskt bestämd (3 okända stödreaktioner och två jämviktsekvationer + ekvationen M = 0 vid leden). Stödreaktioner kan bestämmas genom att använda kvalitativt dessa tre ekvationer eller genom att använda en kvalitativ kraftmetod som i exempel 3. M led Pga leden är nedböjningskurvan svårare att gissa för detta exempel. P P

Exempel 5 Regel 4 : inflektionspunkt  M = 0 Byggnadsmekanik gk 12.5 Regel 4 : inflektionspunkt  M = 0 För att rita nedböjningskurvan använder man att nedböjningen är noll vid ändarna, att lutningen är noll vid inspänningen och att balken går nedåt vid kraften P. Exempel 5 P P Balken är statiskt obestämd av grad 1. Stödreaktionerna bestäms med kraftmetod. Inflexion point P P M är noll vid den högra änden och M-diagrammet består av två raka linjer. Dragningen råder på underkanten vid kraften P och inspänningsmomentet skapar dragning på överkanten vid vänstra änden. Man kan också titta på nedböjningskurvan för att se vilken sida (under- eller överkant) av balken som är dragen. P P M Inflektionspunkt

Byggnadsmekanik gk 12.6 Exempel 6 P M Nedböjningskurvan gissas först och används för att bestämma M-diagram och stödreaktioner. Stödreaktionerna kan bestämmas genom att använda en kvalitativ kraftmetod tillsammans med nedböjningskurvan. P D D D D P Inflektionspunkt M-diagrammet består av fyra raka linjer. Genom att titta på nedböjningskurvan kan man se vilken sida (under- eller överkant) av balken som är dragen (markerat med D).

Exempel 7 Regel 5 : om lasten är en konstant utbredd last, Byggnadsmekanik gk 12.7 Regel 5 : om lasten är en konstant utbredd last, utgörs M-diagrammet av en parabel. Exempel 7 Skillnaden med exempel 5 är att M-diagrammet inte består längre av två raka linjer utan av en parabel. Skillnaden mellan detta exempel och exempel 5 är att mittpunktskraften har ersätts med en utbredd last. De kvalitativa stödreaktionerna och formen av nedböjningskurvan är samma som i exempel 5 och kan bestämmas genom att använda samma metoder. M

Exempel 8 eller Regel 6 : M är konstant i ett hörn (om det Byggnadsmekanik gk 12.8 Regel 6 : M är konstant i ett hörn (om det inte finns något punktmoment) För den horisontella balken kommer M från kraften P och M-diagrammet är enkelt. M är konstant i den vertikala balken. Man kan se det genom att snitta balken och betrakta den nedre eller övre delen av ramen. M M Exempel 8 eller Ramen är statiskt bestämd ( 3 stödreaktioner och 3 jämviktsekvationer). Stödreaktionerna kan bestämmas med jämviktsekvationer. P P M

Byggnadsmekanik gk 12.9 Exempel 9 P P A M-diagrammet består av tre raka linjer. Genom att titta på deformationerna kan man se vilken sida (under- eller överkant) av balken som är dragen (markerat med D). Ramen är statiskt obestämd av grad 2 (5 stöd-reaktioner och 3 jämviktsekvationer). Det går inte att bestämma stödreaktionerna och M-diagrammet utan att gissa hur ramen deformeras. Ett sätt att gissa deformationerna är att tänka att punkt A inte kan flytta sig vertikallt eller horisontellt pga av stöden (axiella deformationer pga normalkraften N försummas) utan kommer att rotera medurs pga kraften P. M

De vertikala reaktionerna är självklara. Byggnadsmekanik gk 12.10 De vertikala reaktionerna är självklara. Inspänningsmomentet verkar medkurs eftersom det måste skapa dragning på högersidan vid stödet (se deformationerna eller M-diagrammet). Om den horisontella reaktionen vid den högra stödet tas bort, går rullstödet åt höger, då behövs en stödreaktion åt vänster för att ta förhindra denna rörelse. P P går åt höger P De horisontella stödreaktionerna är lite svårare att bestämma. Ett sätt är, en gång till, att använda en kvalitativ kraftmetod:

Exempel 10 P M = 0 M P Ramen är statiskt bestämd. Byggnadsmekanik gk 12.11 P Exempel 10 M = 0 M P Ramen är statiskt bestämd. Stödreaktioner bestäms med jämviktsekvationer. De vertikala balkarna deformeras inte eftersom M = 0. P Det finns ingen horisontell reaktion vid det högra stödet eftersom en sån reaktion skulle skapa ett moment vid leden. M = 0 i de vertikala balkarna eftersom det inte finns någon horisontell stödreaktion. rak rak

Byggnadsmekanik gk 12.12 Om ramen är statiskt obestämd, måste man börja att gissa hur ramen deformeras och från det bestämma stödreaktionerna och M-diagrammet. P Exempel 11 P A M-diagrammet består av fyra raka linjer. Genom att titta på deformationerna kan man se vilka sidor av balkarna som är dragna. Denna struktur presenterar en symmetri. Ett sätt att gissa deformationerna är att tänka att punkt A inte kan flytta sig vertikalt eller horisontellt pga av stöden och symmetrin utan kommer att rotera medurs pga kraften P. M

De vertikala reaktionerna är självklara. Byggnadsmekanik gk 12.13 De vertikala reaktionerna är självklara. Inspänningsmomenten kan bestämmas genom att se vilken sida av balken som är dragen. Ett annat sätt är att kolla på M-diagrammet i den vänstra (eller högra) vertikala balken. Utan horisontell stödreaktion är momentet konstant i balken. För att momentet ska byta tecken längs balken måste det finnas en horisontell stödreaktion som skapar ett moment som motverkar inspänningsmomentet. P Ett sätt att bestämma de horisontella stödreaktionerna är att se att de vertikala balkarna kommer att gå utåt om de horisontella stödreaktionerna tas bort.

Byggnadsmekanik gk 12.14 Exempel 12 När deformationerna är kända är det lätt att rita M-diagrammet och bestämma stödreaktionerna. P M Deformationerna är svåra att gissa för denna struktur. P P