Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november B1118 Diskret matematik Tredje föreläsningen - Kombinatorik

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Inneh ₢ ll 4 Räkneprinciper – Additionsprincipen, räkna par, duvslags- principen. 4 Fr ₢ gor om bollar i l ₢ dor 4 Ordnade och oordnade urval 4 Binomialtal 4 S ₢ llprincipen

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november En ständigt ₢ terkommmande fr ₢ ga inom kombinaorik är: – P ₢ hur m ₢ nga sätt kan man lägga n bollar i k l ₢ dor? Att lägga bollar i l ₢ dor

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november Vi kan formulera fr ₢ gor om bollar i l ₢ dor i termer av funktioner – Att lägga n bollar i k l ₢ dor är detsamma som att ge en funktion fr ₢ n N n till N k. Bollar i l ₢ dor som funktioner

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november Vi kommer ih ₢ g vad som menas med att räkna – En mängd M inneh ₢ ller k element om det finns en bijektion f : M } N k. Att räkna

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Additionsprincipen  Sats. Om A och B är disjunkta mängder, dvs om AOB=Ÿ, s ₢ gäller att |ANB|=|A|+|B| – För n disjunkta mängder gäller |A 1 NA 2 N...NA n | =|A 1 |+|A 2 |+...+|A n | AB

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Duvslagsprincipen 4 Sats. Om fler än mk bollar läggs i k l ₢ dor blir det minst en l ₢ da som inneh ₢ ller fler än m bollar. 4 Sats. Bland sex personer finns antingen tre som alla känner varandra eller tre där ingen känner n ₢ gon av de andra.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Att räkna par  Om M är en delmängd i ADB kan vi räkna elementen i M p ₢ tv ₢ sätt: – Radsummor; r a (M)=  a,b  g M  – Kolonnsummor; k b (M)=  a,b  g M  Allts ₢ m ₢ ste  a gA  r a (M) =  b gB k b (M), dvs summan av radsummorna är lika med summan av kolonnsummorna.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Att lägga bollar i l ₢ dor 4 Vi har tidigare sett att fr ₢ gan – P ₢ hur m ₢ nga sätt kan man lägga n bollar i k l ₢ dor? är detsamma som fr ₢ gan – Hur m ₢ nga funktioner finns det fr ₢ n N n till N k ? 4 Svar: Det finns k n sätt.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Injektiva funktioner 4 Vi kan fr ₢ ga oss – P ₢ hur m ₢ nga sätt kan man lägga n bollar i k l ₢ dor s ₢ att det kommer högst en i varje? 4 Fr ₢ gan blir d ₢ densamma som – Hur m ₢ nga injektiva funktioner finns det fr ₢ n N n till N k ? 4 Svar: k(k-1)...(k-n+1) (k) n eller [k] n

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Surjektiva funktioner 4 Vi kan fr ₢ ga oss: – P ₢ hur m ₢ nga sätt kan man lägga n bollar i k l ₢ dor s ₢ att det kommer minst en i varje? 4 Fr ₢ gan blir d ₢ densamma som – Hur m ₢ nga surjektiva funktioner finns det fr ₢ n N n till N k ? 4 Svar: k!S n,k – där S n,k är ett Stirlingtal.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Bijektiva funktioner 4 Vi kan fr ₢ ga oss: – P ₢ hur m ₢ nga sätt kan man lägga n bollar i k l ₢ dor s ₢ att det kommer precis en i varje? 4 Fr ₢ gan blir d ₢ densamma som – Hur m ₢ nga bijektiva funktioner finns det fr ₢ n N n till N k ? 4 Svar: Om n=k finns n!, annars inga.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Ordnade urval 4 En funktion eller ett sätt att lägga bollar kan ocks ₢ ses som ett – ordnat urval med ₢ terläggning. 4 En injektiv funktion svarar mot ett – ordnat urval utan ₢ terläggning.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Oordnade val 4 Om vi skall lägga bollar i l ₢ dor kan det hända att bollarna är identiska. Det betyder att vi ser p ₢ ett oordnat urval. 4 Exempel. Om vi sl ₢ r sex identiska tärningar spelar det ingen roll i vilken ordning vi sl ₢ r dem.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Binomialtal 4 P ₢ hur m ₢ nga sätt kan vi lägga n identiska bollar i k l ₢ dor s ₢ att det kommer högst en i varje? 4 Svar: P ₢ lika m ₢ nga sätt som vi kan välja ut en delmängd med n element ur en mängd M med k element, dvs 4 Vi läser det som ”k över n” eller ”k välj n”

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Rekursion 4 Sats. Binomialtalen uppfyller 4 Bevis: Tag en mängd med k+1 element och se p ₢ de mängder som inneh ₢ ller, respektive inte inneh ₢ ller, det sista elementet.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Pascals triangel 4 Rekursionen gör att vi kan ställa upp binomialtalen i en triangel där varje tal är summan av de tv ₢ som st ₢ r ovanför.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 Binomialsatsen 4 Sats. För positiva heltal n gäller att 4 Bevis: När vi multiplicerar paranteserna (x+y)(x+y)...(x+y) har vi för varje parantes möjlighet att välja x eller y. Antalet sätt att välja x precis i g ₢ nger är

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november med ₢ terläggning 4 P ₢ hur m ₢ nga sätt kan vi lägga n identiska bollar i k l ₢ dor? 4 Svar: P ₢ lika m ₢ nga sätt som vi kan välja delmängder med n element ur en mängd med n+k-1 element, dvs

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 S ₢ llprincipen 4 För att kunna räkna ut antalet element i en union kan vi använda s ₢ llprincipen – |ANB|=|A|+|B|-|AOB| AB AOBAOB

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november 2001 S ₢ llprincipen, allmänt 4 Mer allmänt kan vi skriva – |A 1 NA 2 N...NA n | = Ñ 1 -Ñ 2 +Ñ (-1) n Ñ n där – Ñ 1 = |A 1 |+|A 2 |+...+|A n | – Ñ 2 = |A 1 OA 2 |+|A 1 OA 3 |+...+|A n-1 OA n | – Ñ n = |A 1 OA 2 O...OA n |