Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 novnember 2001 5B1118 Diskret matematik Sjunde föreläsningen Grupper.

En presentation över ämnet: "Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 novnember 2001 5B1118 Diskret matematik Sjunde föreläsningen Grupper."— Presentationens avskrift:

1 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 novnember 2001 5B1118 Diskret matematik Sjunde föreläsningen Grupper

2 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Abstrakt algebra 4 Ibland har man nytta av att glömma bort mycket av den struktur som finns hos ett specifikt objekt. 4 Man kan d ₢ formulera p ₢ st ₢ enden och satser som är giltiga i m ₢ nga olika situationer.

3 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Binär operation 4 En grupp är en mängd G med en binär operation som uppfyller vissa villkor. 4 Med en binär operation menas att vi stoppar in tv ₢ saker och f ₢ r ut en. 4 Matematiskt är detta en funktion G D G } G.  Ex. +,D och - är binära operationer p ₢ Z. – (a,b) sänds till a+b, a×b och a-b.

4 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Gruppaxiomen  Definition. En grupp är en mängd G med en binär operation C som uppfyller – aC(bCc) = (aCb)Cc (associativitet) – Det finns ett element e s ₢ att aCe=eCa=a för alla a i G. (identitet) – För varje a i G finns ett b s ₢ att aCb=bCa=e (invers)

5 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Varför grupper?  An ledningen till att man inför ett abstrakt begrepp som grupp är att – Samma egenskaper förekommer hos m ₢ nga olika algebraiska objekt. – Samma argument används om och om igen för att bevisa liknande satser om olika algebraiska objekt.

6 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 N ₢ gra exempel 4 S n - den symmetriska gruppen. 4 SO(3) - gruppen av stelkroppsrotationer. 4 Symmetrigrupper för geometriska objekt som platonska kroppar. 4 Z och Z n under addition. 4 De inverterbara elementen i Z n under multiplikation.

7 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Grupper i spel 4 I ett spel där varje drag är reversibelt finns en grupp gömd, exempelvis – Rubiks kub. – Femtonspel. 4 Gruppen f ₢ s genom; – M = {dragföljder}/~ – Tv ₢ följder är ekvivalenta om de ger samma förändring. – Operationen är sammansättning.

8 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Symmetriska gruppen 4 S n är alla permutationer av N n. 4 Gruppoperationen är sammansättning. 4 Idetitetselementet är id, identitets- permutationen. 4 Exempel. – S 3 ={id,(12),(23),(13),(123),(132)}.

9 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Grupptabell 4 Multiplikationstabellen för en grupp kallas grupptabell.

10 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Latinska kvadrater 4 En grupptabell är en latinsk kvadrat, dvs – Varje symbol st ₢ r precis en g ₢ ng i varje rad och kolonn. – Inte alla latinska kvadrater är grupptabeller.

11 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Stelkroppsrotationer 4 Sammansättning av stelkroppsrotationer ger en gruppoperation p ₢ mängden av stelkroppsrotationer.

12 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Symmetrigrupper 4 En mängd av stelkroppsrotationer som ₢ terför ett geometriskt objekt till sig själv kallas symmetrigrupp. 4 Sammansättning ger en gruppoperation p ₢ en symmetrigrupp.

13 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Triangelgruppen - G   Symmetrigruppen, G  för en triangel best ₢ r av sex symmetrier. – Identitetssymmetrin, id. – Tre speglingar s 1,s 2 och s 3. – Tv ₢ rotationer r 1 och r 2.

14 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Grupptabell  Grupptabellen för triangelgruppen G  ges av

15 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Isomorfi  Grupptabellerna för G  och S 3 är lika. 4 Om vi byter namn p ₢ symbolerna f ₢ r vi samma grupptabell.  Funktionen f: G  }S 3 som ges av är en isomorfi av grupper.

16 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Delgrupper 4 En symmetrigrupp G är en delgrupp av gruppen SO(3) av stelkroppsrotationer. 4 Det betyder att – G aSO(3) (G är delmängd av SO(3)) – G är en grupp under samma grupp- operation som SO(3).

17 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Platonska kroppar 4 Det finns bara fem symmetriska tre- dimensionella kroppar. – Tetraedern – Kuben – Oktaedern – Dodekaedern – Ikosaedern

18 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Symmetrigrupper i rummet 4 Varje platonsk kropp svarar mot en ändlig delgrupp av SO(3): – Tetraedern – 12 symmetrier, A 4. – Kuben – 24 symmetrier, S 4. – Oktaedern – 24 symmetrier, S 4. – Dodekaedern – 60 symmetrier, A 5. – Ikosaedern – 60 symmetrier, A 5.

19 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Abelska grupper 4 En grupp är abelsk om gruppoperationen är kommutativ, dvs – aCb=bCa för alla element a och b. 4 Ex. Z och Z n är abelska grupper under addition. 4 Gruppoperationen skrivs ofta som + i abelska grupper.

20 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Ordning 4 Ordningen av en grupp G är |G|=#G.  Ordningen o(a) av ett element a i G är det minsta positiva n s ₢ att a n =e. 4 Exempel. – Ordningen för S n är n! – För  (143)(25) i S 5 är o(  )=6 eftersom  2 =(134),  3 =(25),  4 =(143),  5 =(134)(25) och  6 =id.

21 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Cykliska grupper 4 Om o(a)=|G| för n ₢ got a i G kallas G cyklisk och a är en generator. 4 Alla cykliska grupper av samma ordning är isomorfa. Ex. Z n med + är cyklisk av ordning n. – Identitetselementet är 0. – o(1)=n, eftersom

22 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Lagranges sats 4 Sats. Ordningen till en delgrupp delar gruppens ordning. – Bevis: Sidoklasser till HaG ger en partition av G där alla delar har storlek |H|.  Följdsats. o(a) delar |G| om agG. – Bevis: potenserna av a bildar en delgrupp av ordning o(a). 4 Följdsats. a |G| =e för alla a i G. – Bevis: |G|=k·o(a) 1 a |G| =a k·o(a) =e k =e.