Grundlägande statistik,ht 09, AN1 F5 Kombinatorik (KW 1.6) Ex.: På en matsedel finns tre förrätter, två huvudrätter och två efterrätter. På hur många olika.

En presentation över ämnet: "Grundlägande statistik,ht 09, AN1 F5 Kombinatorik (KW 1.6) Ex.: På en matsedel finns tre förrätter, två huvudrätter och två efterrätter. På hur många olika."— Presentationens avskrift:

1 Grundlägande statistik,ht 09, AN1 F5 Kombinatorik (KW 1.6) Ex.: På en matsedel finns tre förrätter, två huvudrätter och två efterrätter. På hur många olika sätt kan en trerätters måltid komponeras? Svar: Illustration: Träddiagram

2 Grundlägande statistik,ht 09, AN2 F5 Kombinatorik (forts) Man ska utföra k st operationer. Den första kan utföras på n1 sätt, den andra på n2 sätt o.s.v. Multiplikationsprincipen: Totala antalet sätt att utföra de k operationerna i tur och ordning är: n1 × n2 × … × nk

3 Grundlägande statistik,ht 09, AN3 F5 Kombinatorik (forts.) n olika element kan permuteras (ordnas) på n·(n-1)·(n-2)·,,,·3·2·1=n! olika sätt. n! kallas ”n-fakultet” 1! = 1 2! = 2·1 = 2 etc. Man definierar 0! = 1

4 Grundlägande statistik,ht 09, AN4 F5 Kombinatorik (forts.) Ordnade delmängder En mängd består av N element, av dem väljer vi n. Antalet ordnade delmängder är N·(N-1) ·,,, ·(N-(n-1)) Kan skrivas som T ex N=5. Vi kan då välja n=3 av dem på 5·4·3 = 60 olika sätt. Om vi inte tar hänsyn till ordningen blir antalet sätt Detta kallas kombinationer och skrivs som uttalas ”N över n”

5 Grundlägande statistik,ht 09, AN5 F5 Räkneregler för väntevärde och varians Antag att vi vet väntevärde och varians för slumpvariabeln X. Vi definierar en ny slumpvariabeln Y som är en linjär funktion av X. Om Y = a + b·X, så gäller att E(Y) = E(a + b·X) = a + b·E(X) Var(Y) = Var(a + b·X) = b²·Var(X) Ex. X är temp. mätt i grader Celsius. Y är temp. mätt i grader Fahrenheit Då gäller att Y = 9/5·X+32 E(Y)=? Var(Y)=?

6 Grundlägande statistik,ht 09, AN6 F5 Väntevärde och varians för summor mm. X och Y är två stokastiska variabler. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X – Y) = E(X) – E(Y) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y) Specialfall: X och Y okorrelerade. Då är Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) OBS om X och Y oberoende så är de också okorrelerade, dvs Cov = 0.

7 Grundlägande statistik,ht 09, AN7 F5 Kontinuerliga stokastiska variabler En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden i ett intervall. Sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig slumpvariabel, X, beskrivs genom en s.k. en funktion f(x), som brukar kallas täthetsfunktion. f(x) ≥ 0 för alla x. Hela ytan under f(x) är lika med 1. P(a ≤X ≤ b) = ytan under f(x) mellan a och b. P(X=a) = 0. (Ytan över en punkt är lika med 0.) Slutna, halvöppna och öppna intervall har samma sannolikhet. Dvs. P(a ≤X ≤ b)= P(a <X ≤ b) = P(a ≤X < b) = P(a < X < b)

8 Grundlägande statistik,ht 09, AN8 F5 Normalfördelningen Vad vi i praktiken behöver veta om normalfördelningens egenskaper är · fördelningen bestäms helt av μ och σ. · utfallsrummet är hela talaxeln. · fördelningen är symmetrisk kring μ. Svår att härleda men enkel att hantera Många fördelningar kan approximeras med normalfördelningen, t ex binomialfördelningen när n är stort Detta bygger på centrala gränsvärdessatsen.