Kap 1 - Algebra och funktioner

1.1 Algebra och polynom

POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

Algebra och funktioner

y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Terminologi +2,15 är en konstantterm +2,1x och -0,41x2 är variabeltermer talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

Potenslagarna SE FORMELBLADET!

? Potenslagarna Tips på metod Byt ut alla a mot 5 och alla x mot 3 Kontroll med räknare ?

Definitioner ETT GENOM

Definitioner

Definitioner

Definitioner

Definitioner

Lagar för kvadratrötter

Lagar för kvadratrötter

Absolutbelopp Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen. Källa: http://sv.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp

Absolutbelopp

Absolutbelopp

Absolutbelopp, ett exempel

Absolutbelopp, ett exempel

Andragradsekvationer Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

OBS!

Andragradsekvationer För att använda lösningsformeln så är det bra att först skriva ekvationen på normalform, identifiera talen p och q och sedan sätta in dem i formeln, och eventuellt förenkla uttrycket lite. Den här lösningsformeln kallas populärt för pq-formeln. [http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php/Andragradsekvation ]

Andragradsekvationer Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

Uppgift 1101 & 1102

a och b är polynomets nollställen Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

Andragradspolynom

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Nollställen

Andragradspolynom Funktionen heter:

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

ARBETA NEDÅT! Räkning med polynom (8 + 2x) + (3 – 4x) =

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2 (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9 Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9 2:a kvadreringsregeln (z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2

(a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 (2x)2 –32 = 4x2 - 9

1.2 Rationella uttryck

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

TALMÄNGDER

Rationella uttryck

Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

Rationella uttryck Testa! För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

Förlängning

Förkortning

Klarar du denna utan räknare?

Klarar du denna utan räknare?

Vad heter kurvan?

Vad heter kurvan?

Kan du rita denna i DESMOS?

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

Enklaste form

Förlängning, exempel

Förlängning, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

Varning!! OBS!!

Varning!! VARFÖR!

Fundering! Är detta samma sak?

OBS!!

Bryt ut (-1)

Bryt ut -1

Förenkla

Förenkla

1.3 Funktioner

Funktioner

Vertikaltest

Vertikaltest

Vertikaltest

Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation m = 1

Räta linjens ekvation m = 6

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation

Tre lutningar

Räta linjens ekvation

Andragradsekvationer

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Andragradsekvationer Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

Andragradsekvationer Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen

Andragradsekvationer NOLLSTÄLLEN

Andragradsekvationer Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

Andragradsekvationer Symmetrilinje Minimipunkt

Grafisk lösningsmetod

Algebraisk lösningsmetod Vad hände här?

Algebraisk lösningsmetod

Algebraisk lösningsmetod

Grafisk lösningsmetod Lös denna med hjälp av DESMOS

Grafisk lösningsmetod Lös denna med hjälp av DESMOS

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Logaritmer ”2 är 10-logaritmen för 100”

Logaritmer ”3 är 10-logaritmen för 1000”

Logaritmer

Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test] (2) lg(3*4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4*lg(3) = 1,90848501888 (2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test] (3) (3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test] 108

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmer med olika baser 4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

Logariter – ett exempel

Logariter – ett exempel På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109

Logariter – samma sak?

Logariter – NEJ!

Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid X = 3/(lg(2))*2400 = 23917,8822832 x = (3/lg(2))*24000 = 239178,822832 [2,4 × 105] 117

Exponentialfunktioner & potensfunktioner

Logaritmer Enligt räknaren…

OBS! 197^(1/5) = 2,87669120278 lg(197)/lg(5) = 3,28263904306 2,87669^5 = 196,999588159 5^3,282639 = 196,999986347

Potensfunktioner & Exponentialfunktioner

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. (3,2/2,4)^(1/5) = 1,05922384105

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Exponentialfunktioner Vad vet vi om a?

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner Vad vet vi om a?

Exponentialfunktioner

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen?

Vilken är exponentialfunktionen?

Vilken är exponentialfunktionen?

Vilken är exponentialfunktionen?

Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år. Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

Sätt namn på grafen

Sätt namn på grafen

Kan du det här? 1 (s. 64)

Kan du det här? 1 (s. 64)

Kan du det här? 1 (s. 64)

VAD HETER FUNKTIONEN? F(x) = (x - 3)(x + 2)

VAD HETER FUNKTIONEN? f(x)=(x+2)(x-3)  f(x)=x²-3x+2x-6  f(x)=x²-x-6

VAD HETER FUNKTIONEN? y=-x^2-x+6

VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!! y=-x^2-x+6 Testa!! [ Länk till DESMOS ]

VAD HETER FUNKTIONERNA? y=-x^2-x+6

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då:

Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1,05922384105… Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

Befolkningsproblem C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE? Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE? Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

SOCRATIVE https://www.socrative.com/