Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata

Vad menar vi med lutning? Hur lutar den röda kurvan vid pilarna? - + +

Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret?

Vi söker lutningen… https://www.desmos.com/calculator/vhcxky2xnl

DESMOS Länk till DESMOS

y = x³ - 3x² - x + 3 Vad heter den blå linjen? Länk till DESMOS

HASTIGHET Vad menas med begreppet hastighet? Ex. 80 km/h

HASTIGHET Jämför med Räta linjens k-värde!!

Ändringskvot Förändring i y-led Ändringskvot Förändring i x-led

Ändringskvot Var har du sett detta förr?

Ändringskvot

Ändringskvot

LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

LINJERS LUTNING

LUTNING I EN PUNKT https://mathleaks.se/utbildning/Lutning_i_en_punkt

m = var linjen skär y-axeln RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens derivata k = linjens lutning

DERIVATAN En introduktion

Begreppet derivata (x + h)

Begreppet derivata

KURVORS LUTNING VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? Negativ - Positiv + Positiv + Lutning = 0 VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???

Begreppet derivata

Lutning – en animering Klicka på bilden.

Derivative Tracer (GeoBra)

Derivatans definition Deriveringsregler GENOMGÅNG 2.2 Gränsvärde Derivatans definition Deriveringsregler

DERIVATANS DEFINITION https://mathleaks.se/utbildning/Derivatans_definition

Derivatans definition

Derivatans definition

Derivatans definition

Derivatans definition h

Derivatans definition h går

Derivatans definition h går mot

Derivatans definition h går mot noll

Derivatans definition

Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret?

y = x³ - 3x² - x + 3 Vad heter den blå linjen? Länk till DESMOS

y = x³ - 3x² - x + 3

Derivatans definition

Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.

Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent

Begreppet derivata

Begreppet derivata

Begreppet derivata DERIVATANS DEFINITION

Derivatans definition Boken sidan 81

Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret? Var hittar du detta i formelbladet?

Deriveringsregler, exempel Vad hände med ?

Derivatan av en konstant DESMOS - [ y = 4 ]

Kurva med derivata

Kurva med derivata Vid vilka värden på x är kurvans lutning lika med noll? Kurvans funktion är: Kurvans derivata är: Vi sätter derivatan lika med noll:

Kurva med derivata Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?

Kurva med derivata Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter? Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Extrempunkternas koordinater:

Deriveringsregler, exempel

DESMOS Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4

GENOMGÅNG 2.3 Deriveringsregler 1

Uppgift 2130 A (1,2)

Växande och avtagande

Funktion

Derivata

Funktion och derivata

LärarDalle https://www.youtube.com/watch?v=vCjPF4m9SxA&list=PL50B4FB31C53B6241&index=14

LärarDalle https://www.youtube.com/watch?v=vCjPF4m9SxA&list=PL50B4FB31C53B6241&index=14

Derivera med derivatans definition

Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

Vi deriverar…

Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

Vi deriverar…

Deriveringsregler x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5 x-5 -5x-6 xn nxn-1

Vi deriverar… OBS!

Vi deriverar…

Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift från Matematik-boken (2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift från Matematik-boken (2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken ?

Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken ?

Vad heter tangenten? Vilket ”namn” har den blå tangenten till kurvan?

Vad heter tangenten? Vilket ”namn” har den blå tangenten till kurvan?

Vad heter tangenten?

Hur ser tangenten ut?

Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken Bestäm f´(x) om

GENOMGÅNG 2.4 Deriveringsregler 2

Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

Deriveringsregler (Repetition) f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1

Deriveringsregler (Repetition) f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5 x-5 -5x-6 xa axa-1

Vi deriverar…(Repetition) Uppgift 2332, sid 98 Matematik 3bc-boken Beräkna f´(2) (2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

Hur ser derivatan ut?

Hur ser derivatan ut?

Deriveringsregler

Vi deriverar…

Derivatan av funktionen y = ax

Derivatan av funktionen y = ax Uppgift 2436, Sid 107 Matematik 3bc-boken

ln e Vad visar din räknare om du slår in

ln e & lg 10

Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

Naturliga logaritmer

Logaritmlagar Jämför med formelbladet

Logaritmer ett exempel Uppgift från Matematik 3bc-boken (exakt) (närmevärde med tre decimaler) (exakt) (närmevärde med tre decimaler)

Logaritmer ett exempel Uppgift från Matematik 3bc-boken

Logaritmer ett exempel Uppgift från Matematik 3bc-boken

GENOMGÅNG 2.5 2.5 Grafisk och numerisk derivering

ln e & lg 10 (rep.)

Uppgift 2130 (rep.) 3 2,5 A (1,2) 2,1 2,01 2

Hur ser derivatan ut? (rep.)

Hur ser derivatan ut? (rep.)

Grafisk och numerisk derivering Sid 113 Matematik 3bc-boken

Grafisk och numerisk derivering Vilken lutning har denna kurva där x = 3?

Grafisk och numerisk derivering Vilken lutning har denna kurva där x = 3?

Grafisk och numerisk derivering

Grafisk och numerisk derivering

Grafisk och numerisk derivering

Grafisk och numerisk derivering

Grafisk och numerisk derivering

Grafisk och numerisk derivering

Grafisk och numerisk derivering

Derivering med derivatan

MARKÖR HÄR!

Bestäm tangenten till denna kurva Bestäm tangenten till denna kurva där x = 2

Grafisk och numerisk derivering från Matematik 3c-boken

Vi kontrollerar…

Grafisk derivering med räknare . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då \Y1=3X*0.7^X Tryck [2ND] + CALC Svar:

Numerisk derivering med räknare . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare ((3*2.1*0,7^2.1)-(3*1.9*0,7^1.9))/0.2 Svar:

Numerisk derivering med räknare . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Svar:

Derivering med räknarens inbyggda funktion . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 nDeriv(3x*0,7^x,x,2) Mata in värden enligt nedan Tryck <Enter> Svar:

Derivering med räknarens inbyggda funktion TI-82, Äldre TI-84 etc. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 Mata in värden enligt nedan nDeriv(3X*0,7^X,X,2) Tryck <Enter> Svar:

Vi jämför…

Socrative https://b.socrative.com/login/student/