Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata
HASTIGHET Vad menas med begreppet hastighet? Ex. 80 km/h
HASTIGHET Jämför med Räta linjens k-värde!!
Ändringskvot Förändring i y-led Ändringskvot Förändring i x-led
Ändringskvot Var har du sett detta förr?
Ändringskvot
Ändringskvot
LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led
LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1
m = var linjen skär y-axeln RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens derivata k = linjens lutning
DERIVATAN En introduktion
Begreppet derivata (x + h)
Begreppet derivata
KURVORS LUTNING VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? Negativ - Positiv + Positiv + Lutning = 0 VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???
Begreppet derivata
Lutning – en animering Klicka på bilden.
Derivative Tracer (GeoBra)
Derivatans definition Deriveringsregler GENOMGÅNG 2.2 Gränsvärde Derivatans definition Deriveringsregler
Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.
Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent
Begreppet derivata
Begreppet derivata
Begreppet derivata DERIVATANS DEFINITION
Derivatans definition Boken sidan 81
Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.
Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent
Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret? Var hittar du detta i formelbladet?
Deriveringsregler, exempel Vad hände med ?
Derivatan av en konstant DESMOS - [ y = 4 ]
Kurva med derivata
Kurva med derivata Vid vilka värden på x är kurvans lutning lika med noll? Kurvans funktion är: Kurvans derivata är: Vi sätter derivatan lika med noll:
Kurva med derivata Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?
Kurva med derivata Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter? Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Extrempunkternas koordinater:
Deriveringsregler, exempel
DESMOS Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4
GENOMGÅNG 2.3 Deriveringsregler 1
Växande och avtagande
Funktion
Derivata
Funktion och derivata
Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
Deriveringsregler x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5 x-5 -5x-6 xn nxn-1
Vi deriverar…
Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?
Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?
Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?
Vi deriverar…
Vi deriverar… OBS!
Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift 2332, sid 95 Matematik 3c-boken (2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift 2332, sid 95 Matematik 3c-boken (2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken Bestäm f´(x) om
Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken Bestäm f´(x) om
Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken ?
Vi deriverar… Uppgift 2333, sid 95 Matematik 3c-boken ?
GENOMGÅNG 2.4 Deriveringsregler 2
Uppgift 2130 A (1,2)
Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1 f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
Deriveringsregler (Repetition) f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
Deriveringsregler (Repetition) f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5 x-5 -5x-6 xa axa-1
Vi deriverar…(Repetition) Uppgift 2332, sid 98 Matematik 3bc-boken Beräkna f´(2) (2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Hur ser derivatan ut?
Hur ser derivatan ut?
Deriveringsregler
Vi deriverar…
Derivatan av funktionen y = ax
Derivatan av funktionen y = ax Uppgift 2436, Sid 107 Matematik 3bc-boken
ln e Vad visar din räknare om du slår in
ln e & lg 10
Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?
Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?
Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?
Naturliga logaritmer
Logaritmlagar
Logaritmer ett exempel Uppgift 2419, sid 105 Matematik 3bc-boken
GENOMGÅNG 2.5 2.5 Grafisk och numerisk derivering
ln e & lg 10 (rep.)
Uppgift 2130 (rep.) A (1,2)
Hur ser derivatan ut? (rep.)
Hur ser derivatan ut? (rep.)
Grafisk och numerisk derivering Sid 113 Matematik 3bc-boken
Grafisk och numerisk derivering
Grafisk och numerisk derivering
Grafisk och numerisk derivering
Grafisk och numerisk derivering Sid 113 Matematik 3c-boken
Vi kontrollerar…
Grafisk derivering med räknare . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Tryck [2ND] + CALC Svar:
Numerisk derivering med räknare . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Svar:
Derivering med räknarens inbyggda funktion . Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 nDeriv(3x*0,7^x,x,2) Mata in värden enligt nedan Tryck <Enter> Svar:
Derivering med räknarens inbyggda funktion TI-82, Äldre TI-84 etc. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 Mata in värden enligt nedan nDeriv(3X*0,7^X,X,2) Tryck <Enter> Svar:
Vi jämför…