Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)"— Presentationens avskrift:

1 Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)

2 Bestämma ekvationen n Bestäm vad som påverkar systemet n Bestäm om parametrarna är positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion n Bestäm om respektive parameter är linjär eller ickelinjär Population x rx tillväxt Population x bx födsel -dx ‘dödslar’ i immigration

3 Bestämma ekvationen n Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär n Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant Population x rx tillväxt Population x bx födsel -dx ‘dödslar’ i immigration

4 Differentialekvationer, del 2 n Geometrisk analys n Ickelinjära differentialekvationer

5 Vad är differentialekvationer n Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation n Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen n För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. n De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar

6 Geometrisk analys: studera fasplanet n Faslinje diagram: u avsätt y’ mot y u y’=f(y) y y’ K Derivatan, y’, är positiv på intervallet [0,K] x y Pilarna anger om x’ resp y’ är positiv eller negativ, riktning på lösningen y’=0 x’=0 n Fasplanet: system av 2 diff ekvationer, x och y u avsätt y mot x då y’=0, x’=0 u y’=f(y,x)=0 => y=h(x) x’=g(y,x)=0 => x=i(x)

7 Utveckling av logistisk modell: allee effekt n dn/dt K Allee effekt, dvs finns en tröskel, a, under vilken tätheten är för låg: tredjegradsekvation a

8 Utveckling av logistisk modell:  -logistisk  termen gör att man kan förändra formen på y’, dvs gör att tillväxten ökar eller minskar snabbare med ändring av populationsstorlek n n’ K  =3  =1  =0.5  =1 ger den vanliga logistiska ekvationen

9 Fasplan, system ickelinjär ekvation x y y’=0 x’=0 [t,y]=ode45('fasplan',[0 10],[ ]); » plot(y(:,2),y(:,1))

10 Skörd: uttag ur population n Skörd ur population med logistisk tillväxt n y’ - yield, dvs uttag n h - skördeanträngning n uttaget ökar med ökad skördeanträngning till linjen passerat max och från h’’ avtar uttaget med ansträngning n x’ x’’ är populationens jämvikt vid resp skördeanträngning x dy/dx K h’x h’’x x’’x’ y’’ y’

11 Skörd: uttag ur population x dx/dt K h’x h’’x x’’x’ y’’ y’ Hur ökar uttaget med h, dvs med ansträngning?

12 Skörd: uttag ur population n med en population som har alle effekt n beroende på täthet kan resultatet bli antingen utrotning eller jämvikt, h’ n vi för högt uttag, ansträngning, så utrotas populationen, h’’ n dn/dt K a ej jämvikt h’x h’’x

13 Linjärisering kring jämviktspunkt linjarisera systemet kring en punkt, dvs tag fram tangenten vid punkten bestäm alltså partiella derivatorna i punkten

14 Linjärisering kring jämviktspunkt linjärisera systemet kring en jämviktspunkt, dvs då f(x’,y’)=0 och g(x’,y’)=0, flytta punkten till origo dvs u=x-x’ och v=y-y’

15 Linjärisering kring jämviktspunkt, typ av jämvikt s 260, avgör egenskaperna för det linjära systemet, dvs egenvärdena Jacobian matris

16 Klassiska Rovdjur-byte modell (Lotka-Volterra) n Enklaste ickelinjära systemet av diff ekv n termen xy finns x-byte, y-Rovdjur a- tillväxt byte b-fångst effektivitet c-omsätt fångat byte till avkomma d-dödshastighet predator

17 x-byte, y-Rovdjur a- tillväxt byte b-fångst effektivitet c-omsätt fångat byte till avkomma d-dödshastighet predator

18

19 De flesta ekvationer kan approximeras med linjära funktioner inom ett litet intervall n Ekvationer som är deriverbara, dvs är kontinuerliga inom intervall, kan approximeras med Taylorutveckling. n Dess första term är linjär och därmed är det möjligt att approximera n Intervallet är mindre ju större derivatan är inom området

20 Numeriska lösningar n De flesta diffentialekvationer går ej att lösa analytiskt. n Man får bestämma sin lösning m h a numeriska metoder n Eulers metod är att göra om diff ekv till differens ekvation med lämplig steglängd n Mer raffinerade metoder, som Runge Kutta, utnyttjar ett antal derivator vid resp punkt. På detta sätt förbättras riktningen, dvs värdet vid nästa steg

21 Matlab: Numeriska lösningar n [t,y] =ode45(’funktion',tidsintervall,begynnelsevärden); Skapa en m-fil rigid.m function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % a column vector dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = * y(1) * y(2); lös ekvationen på intervallet 0-12 n [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1])

22 Matlab: Numeriska lösningar n [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]) n plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.') n Gör om rigid.m och pröva olika ekvationer n Vissa typer av diff ekvationer, s k styva ekvationer, bör lösas med t ex ode15s(…) n Styva diff ekvationer

23 Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)

24 Bestämma ekvationen n Bestäm vad som påverkar systemet n Bestäm om parametrarna är positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion n Bestäm om respektive parameter är linjär eller ickelinjär Population x rx tillväxt Population x bx födsel -dx ‘dödslar’ i immigration

25 Bestämma ekvationen n Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär n Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant Population x rx tillväxt Population x bx födsel -dx ‘dödslar’ i immigration

26 Differentialekvationer, del 1 n Linjära differentialekvationer n Separabla ekvationer n System av linjära differentialekvationer kap n Använda numeriska metoder kap 5.4

27 Vad är differentialekvationer n Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation n Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen n För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. n De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar


Ladda ner ppt "Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)"

Liknande presentationer


Google-annonser