Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 1.Numerisk differentiering och kvadratur Diskretisering av derivata och integral Trapetsmetoden, Simpsons.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 1.Numerisk differentiering och kvadratur Diskretisering av derivata och integral Trapetsmetoden, Simpsons."— Presentationens avskrift:

1 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 1.Numerisk differentiering och kvadratur Diskretisering av derivata och integral Trapetsmetoden, Simpsons regel 2.Ordinära differentialekvationer Eulers metod, Runge-Kutta metoder 3. System av differentialekvationer 4. Begynnelsevärdes och Randvärdesproblem Inskjutningsmetoden

2 Numerisk differentiering och kvadratur Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Funktionen f(x) i tre punkter:x 0 -h, x 0, x 0 +h

3 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Derivator f i punkterna: x 0 ±h Taylorutveckling kring x 0 =0 (Maclaurin)

4 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Derivator med Taylorutveckling Differensen Derivatan i trepunktsform Lokala felet

5 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik “Framåtdifferens” Jämför med definitionen av derivatan: Lokalt fel På samma sätt:

6 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kvadratur: Trapetsregeln Linjärinterpolation

7 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Trapetsregeln Arean mellan x-h och x+h hh f -1 f1f1 f0f0

8 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Trapetsregeln med feluppskattning: f -1 f0f0 f1f1 h h

9 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik f -1 f0f0 f1f1 h h Simpsons regel: Approximera med en Taylorutveckling Integreras till 0

10 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ordinära differentialekvationer En ordinär differentialekvation definieras enligt: Första ordn. Andra ordn.

11 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Eulers metod, diskret lösning av första ordningens ordinära diff. ekvationer. Baseras på “framåtdifferensen” given enl. ovan: Insättning ger:

12 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta metoder Börja med att integrera mellan steg n och n+1 Taylorutveckla f(x,y) kring mittpunkten n+1/2 Integrera:

13 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik dvs

14 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik dvs

15 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Man behöver nu en uppskattning av f n+1/2 i uttrycket: Utnyttja Euler! I halva intervallet: dvs med: Runge-Kutta av ordning 2

16 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta av ordning 2 y n+1 beräknad till ordning h 3 till kostnaden att beräkna f(x,y) i två punkter Geometrisk bild: x y

17 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta fel av ordning 4 > rk3

18 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta fel av ordning 5 > rk4

19 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta fel av ordning 5 > rk4

20 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Högre ordningens ordinära differentialekvationer Kan lösas som ett system av ekvationer m.h.a substitutionen: Dvs en ordinär differential ekvation av ordning n kan lösas numeriskt med ex.vis rk4.

21 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik villkor på y’ Lösningsvillkor En differentialekvation av ordning n är fullständigt bestämd endast om n villkor på lösningen ges. Jämför med den enkla differentialekvationen: Begynnelsevärdesproblem villkor på y Villkoren ges vid samma värde på den oberoende variabeln. Ett exempel för fallet ovan är, y’(0)=2, y(0)=0. I fysiken motsvarat detta ex. vis att man vet position och hastighet vid en given tidpunkt eller i en given punkt.

22 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem I detta fall vet man värdet på funktion (och/eller derivator) vid olika värden på den oberoende variabeln. Ett exempel från fysikaliska tillämpningar är är fallet med en andra ordningens differentialekvation : Det finns flera metoder för att lösa problem av denna typ numeriskt. En enkel metod är att göra om problemet till ett begynnelsevärdesproblem: och söka värden på γ som ger lösningar som ”skjuter över” resp. ”skjuter under” randvillkoret i b. Man söker sedan numeriskt det värde på γ som ger ett värde på y(b) som ligger inom en given noggrannhet från β. Denna metod kallas “inskjutningsmetoden”. Se sid 329…

23 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem

24 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem dvs

25 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem

26 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel; lös med Eulers metod och RK4 och studera felet Notera att lösningen är: …annan funktion i år

27 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel, andra ordningens ekvation överförd till system

28 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel, randvärdesproblem


Ladda ner ppt "Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 1.Numerisk differentiering och kvadratur Diskretisering av derivata och integral Trapetsmetoden, Simpsons."

Liknande presentationer


Google-annonser