Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Dagens ämne: Approximationsproblemet Minstakvadratmetoden Interpolationsproblemet Polynomanpassning Splines.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Dagens ämne: Approximationsproblemet Minstakvadratmetoden Interpolationsproblemet Polynomanpassning Splines."— Presentationens avskrift:

1 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Dagens ämne: Approximationsproblemet Minstakvadratmetoden Interpolationsproblemet Polynomanpassning Splines

2 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ett exempel Modell Varför avviker mätvärdena från modellen om modellen är korrekt?

3 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Hur bestämma den ‘bästa’ linjen? Modell

4 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Avstånd mellan linje och mätpunkter...

5 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Hur minimera avstånd mellan linje och mätpunkter? Största avvikelsen så liten som möjligt Approximation i maximum norm Summan av avvikelserna i kvadrat så liten som möjligt Approximation i Euklidisk norm Enklare att beräkna! Norm

6 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrisformulering: Ett exempel med Överbestämt ekvationssystem!

7 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrisformulering: Ett exempel

8 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrisformulering: ett exempel

9 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrisformulering: ett exempel

10 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Generell formulering: Beroende på modell kan mätdata förstås besrkrivas av andra funktionsuttryck än den räta linjen. I generella termer söks en funktion f* som approximerar f’s givna värden så bra som möjligt i euklidisk norm. Specifikt, ovan söktes en lösning men man kunde ha sökt en lösning av annan form (ev. för andra data) etc...

11 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Man kan således allmänt skriva: f(x) är mao en linjärkombination av givna funktioner där koefficienternasöks. Man kan i likhet med ett vektorrum se det som att funktionerna spänner upp ett funktionsrum (ett rum av denna typ som uppfyller vissa villkor kallas ett Hilbert rum, jmf. kvantmek)

12 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik I fallet med den räta linjen så är ex.vis I en geometrisk jämförelse så spänner dessa två funktioner, som kan ses som två vektorer i funktionsrummet, ett plan U: ”vektor” 0 ”vektor” 1 approximationsfunktion sökt funktion Minsta avståndet från planet ges av en normal. Den minsta avvikelsen mellan f* och f fås då f*-f är ortogonal mot planet U!

13 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Normalekvationerna Eftersom vi är intresserade av anpassning av m st mätvärden så kan vi lämna bilden av det kontinuerliga funktionsrummet och betrakta f(x) som en m dimensionell vektor med värdena: Som skall uttryckas mha samt För den räta linjen:

14 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ortogonalitetskravet ger nu ekvationerna: med Normalekvationerna: vilket ger

15 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Normalekvationerna:

16 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Tillbaka till exemplet: Modell:Data:

17 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Slutsats: minimeras är ortogonal mot basvektorerna under antagande av modellenGivet mätdata då Koefficienterna c 1, c 2, c 3, c n bestäms ur

18 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Normalekvationerna eller där kolumnerna i A ges av:

19 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Notera 1: Funktionernamåste vara linjärt oberoende (jämför vektorer i ett vektorrum) Notera 2: Antag att vårt tidigare problem hade varit (x koord -996) jmf med

20 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Gausseliminering i korthet:

21 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Gausseliminering i korthet:

22 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Approximationen till mätdata antas gå genom datapunkterna, dvs man har tilltro till att felen i mätdata är små. Linjär interpolation Alt vid ekvidistanta data Interpolationsproblemet

23 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Felkällor 1. Mätdata, E f

24 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Felkällor 2. TrunkationsfelDessa vore noll för ett exakt förstagradspolynom

25 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kvadratisk interpolation Ansats 1 2 3

26 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kvadratisk interpolation 3

27 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kvadratisk interpolation Newtons ansats Entydighet: Det finns bara ett polynom av gradtal m som går genom m+1 punkter.

28 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Felet vid interpolation Linjär interpolation

29 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel Interpolation av polynom av gradtal 4,8,16 i ekvidistanta punkter Anpassning av polynom av gradtal 6 till 9 ekvidistanta punkter

30 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 4 grad 8 grad 16 grad 6 grad i 9 ptr

31 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runges fenomen Interpolation i ekvidistanta punkter med ett polynom av högt gradtal tenderar att återge en eftersökt kurva bättre inom de centrala delarna av anpassningsintervallet men ger avsevärda svängningar nära intervallets ändpunkter! Chebychevpolynom och Chebychevabskissor Om man kan välja de punker i vilka data är kända (kan vara svårt i en given mätserie) så bör mätpunkterna väljas tätare i intervallets ändpunkter. Ett optimalt val ges av Chebychev polynomens nollställen som minimerar resttermen ovan

32 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Splines Ett alternativ är att använda ett polynom av lägre ordning styckvis mellan mätpunkterna. Man kan då ex.vis sätta villkoret att funktions- värdena, derivatan och andr derivatan är lika i intervallens ändpunkter för polynom som möts i dessa punkter. Detta ger upphov till s.k. kubiska splines. I ändpunkterna tillkommer kraven ex. vis att kurvan är rak, dvs har konstant derivata utanför intervallet.

33 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kubiska splines FunktionDerivatan Andraderivatan

34 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Insättning ger:

35 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Villkoren samt ger tre okända i tre ekvationer:

36 Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Skrives detta system i matrisform erh: Löses enkelt! Testa MATLABs spline funktion själva!


Ladda ner ppt "Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Dagens ämne: Approximationsproblemet Minstakvadratmetoden Interpolationsproblemet Polynomanpassning Splines."

Liknande presentationer


Google-annonser