DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Spektrala Transformer Introduktion svängningar & fasvektorer

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow När behövs spektrala transformer? Kodning/komprimering: gsm, mp3, jpeg, mpeg… Audio/musik: syntes, effekter (reverb, pitch-shift…) Talteknologi: talsyntes, taligenkänning, talkodning Bildbehandling: bildförbättring, datorseende…

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Harmoniska svängninar Förekommer överallt i naturen Återställande kraften proportionell mot avböjningen 1,5 m m F x k

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Harmoniska svängninar (forts.) Newtons rörelseekvation och Hooks lag ger

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Summor av svängningar + = + = + = ωτ = 0ωτ = πωτ = y(t) = sin ωt + sin ω(t + τ)

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Svängningar som cirkelrörelser i det komplexa talplanet fasvektor (eng: phasor) Re Im t

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Komplexa tal j 2 = -1 rektangulär form z = x + jy polär form z= r (cos θ + j sin θ) = re jθ Re x Im y Re x r θ

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Im y Re x Komplexa tal, räkneregler z 1 = x 1 + jy 1 z 2 = x 2 + jy 2 z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + j(y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2 + j(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) polär form z 1 z 2 = r 1 e jθ 1 r 2 e jθ 2 = r 1 r 2 e j(θ 1 +θ 2 ) z 1 / z 2 = (r 1 /r 2 )e j(θ 1 -θ 2 ) Re x r θ

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Komplexa tal (forts.)

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Svängningsmoder hos en sträng y(x) = sin(πx/L) y(x) = sin(2πx/L) y(x) = sin(3πx/L) y(x) = sin(4πx/L) y(x) = sin(5πx/L)...

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Fourierserier En periodisk vågform kan beskrivas som en summa av deltoner Deltonerna är sinusvågor och med olika faslägen, amplituder och frekvenser

Fourierserier f(t) = a 1 cos t + b 1 sin t + a 2 cos 2t + b 2 sin 2t + a 3 cos 3t + b 3 sin 3t + … DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow

Fourierserier Viktad summa av basfunktioner Koefficienterna kan bestämmas ur vågformen genom integraler Koefficient Basfunktion

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Fourierserier (komplex form) Koefficient Basfunktion

Fourierserier - spektrum Plottar man amplituderna mot frekvensen så får man ett spektrum t f t f spektrumvågform

Fourierserier Fourierserier är ett exempel på en Spektral Transform Omvandlar mellan tids- och frekvensdomän TidsdomänFrekvensdomän t f t f spektrumvågform

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Vad då transformer? En transform översätter mellan två koordinatsystem exempel: Den geometriska transformen p = x + y q = -x + y översätter punkten (x,y) till (p,q) x y pq

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow En transform är en viktad summa av basvektorer Rymderna – eller domänerna – som vi transformerar från och till kan ha godtyckligt många dimensioner. exempel: en samplad ljudsignal med N värden kan betraktas som en punkt i en N-dimensionell tidsdomän En spektral transform transformerar mellan tidsdomänen och frekvensdomänen Transformer (forts.) N 1...

DT1130 Spektrala Transformer Jonas Beskow Sammanfattning Harmoniska svängningar kan representeras med en roterande komplex fasvektor (eng. phasor) Vibration hos en sträng kan beskrivas med en summa av sinusformade stående vågor, svängningsmoder Alla periodiska vågformer kan uttryckas med en fourierserie som en viktad summa av sinusvågor alt. fasvektorer