Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 novnember B1118 Diskret matematik Åttonde föreläsningen Ringar

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Ringar 4 En del algebraiska objekt vi stött p ₢ har tv ₢ binära operationer – Addition – Multiplikation 4 Exempel. – heltalen, Z. – reella talen, R, och komplexa talen, C. – heltalen modulo n, Z n.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Ringaxiomen  En ring är en mängd R med tv ₢ binära operationer, + och E, som uppfyller – R är en abelsk grupp under +. – aE(bEc)=(aEb)Ec. (associativitet) – aE(b+c)=(aEb)+(aEc) (distributiva – (a+b)Ec=(aEc)+(bEc) lagar)

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Etta 4 Vissa ringar har dessutom en etta som uppfyller aE1 = 1Ea = a för alla a i G. 4 Exempel. – Z, R, Q, C, och Z n har alla en etta. – De jämna heltalen 2Z har ingen etta.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Inverterbara element 4 Precis som för Z n gäller i allmänhet inte kancelleringslagen.  Vi kan använda kancellering för inverterbara element, dvs om det finns ett b s ₢ att aEb=1. 4 Mängden av inverterbara element i en ring bildar en grupp under multiplikation.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Kroppar 4 En ring med etta där alla element utom 0 är inverterbara kallas en kropp. 4 Exempel. Q, R och C är kroppar men inte Z, eftersom 2 saknar invers i Z.  Sats. Z n är en kropp 3 n är ett primtal. Bevis: Använd att [a] n är inverterbart 3 sgd(a,n)=1.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Isomorfi av ringar 4 Tv ₢ ringar är isomorfa om de efter namnbyten av elementen f ₢ r samma additions och multiplikationstabeller.  Matematiskt säger vi att RYS om det finns en bijektion f:R}S s ₢ dan att – f(a+b)=f(a)+f(b) – f(ab)=f(a)f(b) för alla a och b i R.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Kinesiska restsatsen 4 Sats. Om m och n är relativt prima finns för varje a och b en lösning till – x\a (mod m) – x\b (mod n) och lösningen är unik modulo mn.  Följdsats. Om m och n är relativt prima är Z mn YZ m D Z n som ringar. – Bevis: f([x] mn )=([x] m,[x] n ) ger isomorfi.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Polynom 4 Vi kan prata om polynom med koefficienter i en kropp. 4 I Matematik 1 hade polynomen koeffi- cienter i R eller C. 4 Nu l ₢ ter vi koefficienterna vara element i en kropp Z p.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Polynomringen 4 Mängden av alla polynom p(x) med koefficienter i Z p bildar en ring Z p [x]. 4 Addition: (x 3 +2x+1) + (x 2 +x+1) = x 3 +x 2 +3x+1= x 3 +x 2 +1 i Z 3 [x].  Multiplikation: (x 3 +2x+1)E(x 2 +x+1) = (x 6 +x 4 +x 3) +(2x 3 +2x 2 +2x)+(x 2 +x+1)= x 6 +x 4 +3x 3 +3x 2 +3x+1=x 6 +x 4 +1 i Z 3 [x].

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Polynomdivision 4 Polynomdivision fungerar även för polynom med koefficienter i Z p.  x 3 +2x+1 = (x+2)E(x 2 +x+1) + 2x+2 i Z 3 [x].  Sats. För p(x) och i Z p [x] finns kvot q(x) och rest r(x) s ₢ att – p(x) = q(x)Es(x) + r(x) – r(x)=0 eller grad r(x) < grad s(x).

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Delbarhet 4 Om resten vid division av p(x) med s(x) är 0 säger vi att – p(x) är delbart med s(x). – s(x) är delar p(x). – p(x) \ 0 (mod s(x)). – s(x)|p(x).

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Euklides algoritm 4 Med hjälp av divisionsalgoritmen kan vi göra Euklides algoritm för polynom. 4 Vi f ₢ r den största gemensamma delaren – x 3 +2x+1 = (x+2)E(x 2 +x+1) + 2x+2 – x 2 +x+1 = (2x)E(2x+2) + 1 allts ₢ sgd(x 3 +2x+1,x 2 +x+1)=1.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Unik faktorisering 4 Ett polynom p(x) är irreducibelt om det inte har n ₢ gra icke-triviala delare. 4 Varje polynom kan faktoriseras i irreducibla faktorer p ₢ ett unikt sätt. 4 Obs! För att detta skall gälla m ₢ ste vi ha koefficienter i en kropp. Exempelvis är (x+3)(x+2)=x(x+5) i Z 6 [x].

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 november 2001 Faktorsatsen 4 Precis som för polynom med reella koefficienter har vi faktorsatsen.  Sats. p(a)=0 3 (x-a) delar p(x). 4 Bevis: – p(x) = q(x)E(x-a) + r(x), – r(x)=0 eller grad r(x) < grad (x-a) =1, – p(a)=0 3 r(a)=0.