INTRODUKTION Balken kan ha olika tvärsnitt Byggnadsmekanik gk 1.1 INTRODUKTION Balken kan ha olika tvärsnitt Kursen Byggnadsmekanik grundkurs ger kunskaper för analys och beräkning av enkla konstruktionselement. Balk element samt ramar bestående av två eller tre balkar studeras i detalj. Balkelement En balk är en struktur med tvärssnittmått mycket mindre än längden. Deformationer och interna krafter kommer att studeras för fyra olika statiska påfrestningar : dragning tryckning böjning vridning L : längd h : höjd b : bredd L > 10 b L > 10 h

Några exempel av balkkonstruktioner Byggnadsmekanik gk 1.2 Några exempel av balkkonstruktioner Oftast kan strukturer betraktas som tvådimensionella

Byggnadsmekanik gk 1.3

TRE OLIKA STÖD rullstöd enkelstöd Byggnadsmekanik gk 1.4 TRE OLIKA STÖD rullstöd Kopplingen mellan balkkonstruktionerna och marken (eller fundament) görs genom stöd. förbjuder vertikal translation tillåter horisontell translation tillåter rotationen enkelstöd rullstöd enkelstöd Stöden applicerar krafter (stödreaktioner) till balken. förbjuder translationer tillåter rotationen

fast inspänning fast inspänning Byggnadsmekanik gk 1.5 fast inspänning Stöden applicerar två krafter (stödreaktioner) och ett moment (inspänningsmoment) till balken. fast inspänning förbjuder translationer förbjuder rotationen

BERÄKNING AV STÖDREAKTIONER Byggnadsmekanik gk 1.6 BERÄKNING AV STÖDREAKTIONER Beräkningen av stödreaktionerna görs genom att använda jämviktsekvationer för hela strukturen. Valet av punkt A i momentekvationen är fritt. Exempel 1 friläggningsfigur Man bestämmer först en riktning för reaktioner och ritar en figur. Sen beräknar man. Hittar man ett negativt värde betyder det att reaktionen pekar åt andra hållet, se exempel 6.

De tre vertikala krafterna kan ersättas med deras resultant R. Byggnadsmekanik gk 1.7 Exempel 2 De tre vertikala krafterna kan ersättas med deras resultant R. Reaktionerna kan också beräknas utan att använda resultanten R. R måste ge upphov till samma moment kring A som de tre krafterna.

Eftersom q är konstant, verkar resultanten i mitten av lasten. Byggnadsmekanik gk 1.8 Exempel 3 Eftersom q är konstant, verkar resultanten i mitten av lasten. Den utbredda lasten q kan ersättas med dess resultant. friläggningsfigur

Den utbredda lasten kan ersättas med dess resultant R. Byggnadsmekanik gk 1.9 Exempel 4 F = 5 kN/m Den utbredda lasten kan ersättas med dess resultant R. friläggningsfigur F = 5 kN/m

Byggnadsmekanik gk 1.10 Exempel 5 Samma metod som för Exempel 4 kan användas för ersätta den utbredda lasten med dess resultant. Ett enklare sätt (utan integration) är att använda superpositionsteoremet.

Byggnadsmekanik gk 1.11 2 kN/m friläggningsfigur 8 kN/m

Byggnadsmekanik gk 1.12 Exempel 6 Ibland är det svårt att gissa i förväg åt vilket håll reaktionerna pekar. I ett sånt fall väljer man en riktning för att göra beräkningarna. Hittar man ett negativt värde betyder det att reaktionen pekar åt andra hållet. I detta exempel är det svårt att veta åt vilket håll inspänningsmomentet vrider. friläggningsfigur

Byggnadsmekanik gk 1.13 Exempel 7 friläggningsfigur

TVÄRSNITTS EGENSKAPER Byggnadsmekanik gk 1.14 TVÄRSNITTS EGENSKAPER Statiskt momentet kring x-axeln : TYNGDPUNKTS LÄGE STATISKT MOMEMT Statiskt momentet kring y-axeln : Koordinater av tyngdpunkten G : Partikulärt fall : om ytan är symmetrisk med avseende på en axel, då finns G på denna axel. Total area :

Exempel 1 koordinater av tyngdpunkten G ? Byggnadsmekanik gk 1.15 Exempel 1 koordinater av tyngdpunkten G ? Ytan delas upp i tre rektanglar. yG = 20 (pga symmetri) xG = ?

YTTRÖGHETSMOMENT En annan uppdelning kan användas. Byggnadsmekanik gk 1.16 En annan uppdelning kan användas. YTTRÖGHETSMOMENT Yttröghetsmomentet kring x-axeln Yttröghetsmomentet kring y-axeln

Byggnadsmekanik gk 1.17 Exempel 2 Exempel 3

STEINERS SATS Bevis : xG och yG går via tyngdpunkten G. Byggnadsmekanik gk 1.18 STEINERS SATS Bevis : xG och yG går via tyngdpunkten G. x och y parallella till xG och yG. Anmärkning : Yttröghetsmomentet ökar när axeln flyttas parrallellt till sig själv från tyngdpunkten.

Exempel 4 Exempel 5 alla mått i mm bisymmetriskt Byggnadsmekanik gk 1.19 Exempel 4 Exempel 5 alla mått i mm bisymmetriskt Om IXG är känd kan IX beräknas med Steiners sats. ( samma resultat som i exempel 3 )

POLÄRT YTTRÖGHETSMOMENT Byggnadsmekanik gk 1.20 Exempel 6 Bisymmetriskt hollow rektangulärt area POLÄRT YTTRÖGHETSMOMENT I stället för att dela upp ytan i 4 rektanglar kan metoden med negativ solid användas. Polärt tröghetsmoment med avseende på O : negativ solid

Exempel 7 Exempel 8 metod 1 : integration metod 2 : negativ solid Byggnadsmekanik gk 1.21 Exempel 7 Exempel 8 metod 1 : integration metod 2 : negativ solid