Diskreta, deterministiska system Projekt 1.2; Vildkatt Kapitel 1 Diskreta, deterministiska system Projekt 1.2; Vildkatt Mooney and Swift "A Course in Mathematical Modeling"

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Projekt 1.2; Vildkatt Bakgrund: Projektet handlar om en hotad amerikansk vildkatt (Bobcat). Data kommer från populationer i Florida. Den årliga tillväxten, r, varierar för olika miljöer enligt följande: r = 0,01676 (Best) r = 0,00549 (Medium) r = -0,04500 (Worst) För det här projektet antas tillväxterna vara konstanta från år till år för de olika miljöerna. Tillväxterna kan också antas tillhöra tre olika populationer. NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 1-2 Gör ett kalkylblad med tre olika populationer (använd de tre tillväxterna). Beräkna antalet individer för varje år under en 10-årsperiod och starta med 100 individer i varje population. Illustrera i ett diagram med datum på x-axeln och med möjlighet att identifiera de olika kurvorna även i svart/vit utskrift. Repetera 1. men över en 25-årsperiod. Uppgift 1-2 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Beräkna antalet individer varje år: x(n) = x(n-1) + rx(n-1) x(n) = antalet vid år n x(n-1) = antalet vid år n-1 r = tillväxten x(0) = 100 r = 0,01676 (Best) r = 0,00549 (Medium) r = -0,04500 (Worst) Tabell och figur görs med hjälp av Excel: Uppgift 1-2 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Tabellen från uppgift 1 används även till uppgift 2, men förlängs med 15 år. Motsvarande figur ser ut så här: Uppgift 1-2 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 3 För att inte populationen med den bästa tillväxten ska bli alltför stor behövs någon form av skötsel. Testa vad som händer med populationen om man tillämpar någon av följande metoder: a. En individ skjuts varje år b. Fem individer skjuts varje år c. 1% av individerna skjuts varje år d. 5% av individerna skjuts varje år Vilken av dessa metoder ger en stabil population? Simulera populationerna över en 25-årsperiod. Uppgift 3 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Tabellen är gjord i Excel på samma sätt som i uppgift 1-2. Följande formler har använts för att beräkna antalet individer/år: Pop 1a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1 Pop 1b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-5 Pop 1c: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*0,99 Pop 1d: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*0,95 Population 1a är den population som utsätts för metod a (dvs 1 individ per år skjuts av), se föregående sida. Population 1b utsätts för metod b osv. r = 0,01676 (Best) x(0) = 100 Uppgift 3 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Diagram över simulering med olika metoder för att minska populationens tillväxt. Metod a (att skjuta av en individ per år) och metod c (att skjuta av 1% av individerna per år) verkar båda vara metoder som ger stabila populationer, åtminstone vad det verkar utifrån en 25-årsperiod. Uppgift 3 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 4 Hur ska man få populationen från uppgift 3 (dvs populationen med den bästa tillväxthastigheten) att stanna/bli stabil på 200 individer? Uppgift 4 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Om vi utgår från grundformeln x(0)=x(n-1)+rx(n-1), så måste termen rx(n-1) vara 0 då x(n-1) är 200 för att x(n) också ska bli 200. Genom att sätta rx(n-1)-rx(n-1)*y, så måste y vara ett tal som gör att rx(n-1)*y = rx(n-1) då x(n-1)=200. Om x(n-1)<200 måste rx(n-1)*y närma sig 0, och när x(n-1)>200 måste rx(n-1)*y vara större än rx(n-1). Alltså: x(n) = x(n-1)+rx(n-1)-rx(n-1)*(x(n-1)/200) Ett test i Excel visar att populationen verkar stabilisera sig på 200 individer både när man startar med 100 individer och med 300. Däremot tar det ganska lång tid. Uppgift 4 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 5 Samma sak som i uppgift 3 fast tvärtom. Här handlar det om populationen med den sämsta tillväxten och hur man med fyra olika metoder kan förhindra att den dör ut: a. Tillföra 3 individer per år b. Tillföra 10 individer per år c. Tillföra 1% individer varje år d. Tillföra 5% individer varje år Vilken/vilka metod/er ger en stabil population? Simulera över en 25-årsperiod. Uppgift 5 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Tabeller och diagram är utförda i Excel på samma sätt som i uppgift 3. Följande formler har använts: Pop 3a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+3 Pop 3b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+10 Pop 3c: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*1,01 Pop 3d: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*1,05 Population 3a är den population som utsätts för metod a (dvs 3 individer per år tillsätts), se föregående sida. Population 2b utsätts för metod b osv. r = -0,04500 (Worst) x(0) = 100 Att addera 5% individer per år verkar ge en stabil population, åtminstone utifrån simulering av en 25-årsperiod. Uppgift 5 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 6 Hur ska man få populationen från uppgift 5 (dvs populationen med den sämsta tillväxthastigheten) att stanna/bli stabil på 50 respektive 200 individer? Om bärförmågan = K och K = 50, måste x(n) och x(n-1) båda vara 50 då populationen blivit stabil. x(n) = x(n-1) + rx(n-1) + z , vilket i det här fallet ger 50 = 50 +r*50 + z z = 50-50-r*50 = -r*50, r = -0,04500 z = 2,25 Alltså; om man tillsätter 2,25 individer per år (eller 3 individer vart fjärde år och två individer övriga år) ska populationen hålla sig på 50 individer från år till år. Då K = 200 måste istället 9 individer tillkomma varje år. Uppgift 6 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Ett test i Excel med simulering för en 100-årsperiod ger följande diagram (K = 50, Adding 2,25; K = 200, Adding 9): Uppgift 6 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 7 Which of the strategies in parts 3 and 5 are affine? By hand, analyze these equations (which are affine) to find fixed points and test for stability. Use the theory of affine equations to verify the numerical results. Uppgift 7 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Från läroboken: “Any recursive equation of the form x(n)=ax(n-1)+b with a and b non-zero constants, will be called affine.” Från uppgift 3 och 5 finns fyra ekvationer som kan kallas ‘affine’: Uppgift 3: Pop 1a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1 r=0,01676 Pop 1b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-5 Uppgift 5: Pop 3a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+3 r=-0,04500 Pop 3b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+10 Uppgift 7 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Från läroboken: “When a recurrence relation or a dynamical system settles down, the point at which it stabilizes is called fixed point, and the system is said to be in a steady state.” En ‘jämviktspunkt’ finns då x(n)=x(n-1). Om vi byter ut x(n) och x(n-1) mot enbart x och sätter in det i en generell ‘affine’ ekvation x(n)=Rx(n-1)+a får vi: x=Rx+a R=r+1 x=a/(1-R)=a/-r Jämviktspunkter för samtliga fyra ekvationer: Pop 1a: ~59,7 Pop 1b: ~298,3 Pop 3a: ~66,7 Pop 3b: ~222,2 En jämviktspunkt för ekvationen för Pop 1a (x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1) är alltså: x= -1/-0,01676 r=0,01676 x~59,7 Uppgift 7 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Från läroboken: “Conditions for stability: If x is a fixed point of the first-order recurrence equation x(n)=f(x(n-1)), then x is a stable fixed point if and only if |f’(x)| < 1.” Är populationen 1a stabil i jämviktspunkten 59,7? x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1, vilket är detsamma som x(n)=Rx(n-1)-1 f(x)=Rx-1 R=r+1 f’(x)=R r=0,01676 f’(x)=1,01676 f’(x) uppfyller inte villkoret ovan och populationen är inte stabil. Uppgift 7 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Från läroboken: “Conditions for stability: If x is a fixed point of the first-order recurrence equation x(n)=f(x(n-1)), then x is a stable fixed point if and only if |f’(x)| < 1.” f(x)=Rx+a f’(x)=R Pop 1a: r=0,01676 ej stabil Pop 1b: r=0,01676 ej stabil Pop 3a: r= -0,04500 stabil Pop 3b: r= -0,04500 stabil Uppgift 7 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi

NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi Uppgift 3 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi