Matematik I Föreläsning 5 21.10.2013 GEOMETRI Matematik I Föreläsning 5 21.10.2013 Heidi Hellstrand Lars Burman

Föreläsning 5 Innehåll: Plangeometri Mönster, symmetri, avbildning Grafiska bilder Litteratur: Geometriska begrepp (Moodle2) Grundläggande geometri (Löwing, 2010) Matematik – ett kommunikationsämne, s. 143-176 Litteraturhänvisningar i slutet på presentationen

Matematikens hörnstenar ARITMETIK GEOMETRI ALGEBRA ”Ett bra sätt att praktiskt jobba med matematik är att koppla tal till geometri. Genom geometrin kan barn utforska en värld av former som hjälper dem att förhålla sig till tal av olika slag. Att leka med grupperingar av olika slag och att utifrån dem se olika slags mönster, ger flera färdigheter; dels den geometriska förmågan att känna igen mönster, dels en grundförståelse för multiplikation, faktorer och primtal.” Ur tv-programmet På tal om matte http://www.ur.se/mb/pdf/Texter/Matematik_och_konst.pdf Att kunna räkna och lära sig ett förhållningssätt

Geometriundervisningen Geometri innebär ”mäta jord” (grek. geo = ”jord”; metria = ”mäta”) Geometrins roll är att ge oss modeller för att uppfatta och beskriva vår fysiska omgivning (rumsuppfattning) Geometri handlar om hur vår omgivning är konstruerad Bör utgå från hemmet och närmiljön, samt knyta an till andra ämnen t.ex. geografi, slöjd, bildkonst Skall ge eleverna en förmåga att tolka och tillämpa geometriska formler och modeller Bör vara konkret och praktiskt inriktad Lärarens uppgift är att behålla det intellektuella djupet, men beakta elevernas nivå

Är larven lika lång från huvud till svans som från svans till huvud? Hur lång är larven? Är larven lika lång från huvud till svans som från svans till huvud?

Rumsuppfattning Aktiviteter i förskola och nybörjarundervisning Grundläggande rumsuppfattning, att veta var kroppen börjar och slutar och var den är placerad i rummet. Behöver du en pall eller stol för att nå upp till hyllan? Använda viktiga begrepp som över – under, framför – bakom, lång – kort, tung – lätt osv. Visa med klossar ett längre tåg eller avgöra vilket rep som är längre Mäta, jämföra och sortera Leta efter en cirkel i påsen genom att använda känselsinnet Avbilda föremål (rita, konstruera) Uppfatta mönster i vardagen Hur ser gardinerna ut? Var hittar barnet cirklar i omgivningen?

En nyckelpiga skall ta sig till andra sidan glaset, vilken är den kortaste vägen för nyckelpigan? Utan hjälpmedel Snöre och

Grundläggande idéer i geometri Wittman, E.: Att undersöka barns geometrikunskaper Geometriska former och deras konstruktion Punkter, linjer, sträckor, strålar... Plana figurer (tvådimensionella, 2D) Kroppar (tredimensionella, 3D) Operationer med former spegling, symmetri, förstoring, förminskning, rotation Koordinater Koordinatsystem Koppling till algebran (t.ex. linjens ekvation) Mätning Längd, area, volym, vinklar Formler Visuo-spatial förmåga: Förmågan att med synens hjälp orientera sig i sin omgivning

Grundläggande idéer i geometri Wittman, E.: Att undersöka barns geometrikunskaper Geometriska mönster och strukturer Relationer mellan geometriska objekt Geometriska former i omgivningen Geometrin runt oss Modellering med geometri Problem som rör rummet Visuo-spatial förmåga: Förmågan att med synens hjälp orientera sig i sin omgivning

Geometri i läroplanen Centralt innehåll i geometrin enligt grunderna för läroplanen för förskolan och den grundläggande utbildningen Förskolan: http://www.oph.fi/download/131117_Grunderna_for_forskoleundervisningens_laroplan_2010.pdf Åk 1-9: http://www02.oph.fi/svenska/ops/grundskola/LPgrundl.pdf F mångsidiga erfarenheter av de matematiska begreppen klassificera, jämföra och ordna för att utforskar och strukturera föremål, organismer, kroppar, figurer, ämnen och fenomen utgående från deras form, antal och andra egenskaper åk 1-2 Geometri • att iaktta och beskriva rymdförhållanden i omgivningen • att iaktta, beskriva och namnge geometriska former i omgivningen • att känna igen, redogöra för och namnge tvådimensionella och tredimensionella former • geometriska grundbegrepp såsom punkt, sträcka, bruten linje, stråle, rät linje och vinkel • att konstruera, rita och avbilda tvådimensionella fi gurer och att känna igen och bygga tredimensionella kroppar • enkla speglingar och förstoringar Mätning • principen för mätning • längd, massa, area, volym, tid och pris • att använda mätredskap • att använda och jämföra centrala

Geometri i läroplanen Centralt innehåll i geometrin enligt grunderna för läroplanen för den grundläggande utbildningen Åk 1-9: http://www02.oph.fi/svenska/ops/grundskola/LPgrundl.pdf åk 3-5 Geometri • förstoringar och förminskningar, likformighet och skala • speglingar i en rät linje och i en punkt, symmetri, kongruens genom att utnyttja konkreta hjälpmedel • cirkeln och dess delar • parallella och vinkelräta räta linjer • vinkelmått och klassificering av vinklar • att undersöka och klassificera olika polygoner • omkrets och area • att undersöka figurers och kroppars geometriska egenskaper • att stärka förståelsen för mätprincipen • att använda och jämföra måttenheter, enhetsbyten • att uppskatta mätresultat och granska mätningar åk 6-9 • samband mellan vinklar • begrepp som anknyter till trianglar och fyrhörningar • regelbundna polygoner • cirkeln och begrepp i anslutning till cirkeln • att beräkna omkretsen och arean för figurer i planet • att benämna och klassificera kroppar • att beräkna volymen och arean för kroppar • kongruens och likformighet • geometriska konstruktioner • kongruensavbildningar i planet: spegling, rotation och förskjutning • Pythagoras sats • samband mellan trianglar och cirklar • trigonometri och beräkning av de olika delarna i rätvinkliga trianglar

Mönster Matematik som världens formspråk (Furness, A.) Naturen: räkna blommans kronblad, studera kottarnas spiralformade mönster, strukturen i trädens grenar... Arkitekturen: husens form, fönstrens form och placering, parkers uppbyggnad Konst: bildernas disposition, tavlans mått, passpartouns mått och placering, logon, origami, etc. Musiken: oktaverna är samklingade, harmoniska skalan, etc. Talmönster (t.ex. jämna talen, Fibonaccis talföljd) Tänk och räkna: formövningar TALMÖNSTER -> algebra Läs mera i kurslitteraturen!

Mönster Upptäck mönster Skapa mönster Mönster med passare Textiltryck Trådbilder Inspirerat av konstnären Naum Gabo

Gyllene snittet

Symmetri ”Symmetri hos ett föremål innebär att man kan vrida föremålet, spegla det, förflytta det eller göra något annat med det utan att föremålet ändrar utseende.” Studera symmetrin i omgivningen: Halvera ett äpple Studera löv, bilar, hus, etc. Vilka figurer är symmetriska? Märk ut symmetriaxeln? Hur många symmetriaxlar hittar du i bilden? Aktiviteter: komplettera Konstruera en symmetrisk figur Leta symmetriska figurer Spegeln är ett bra hjälpmedel, symmetrilinjen fungerar ungefär som glaset i en spegel Vik ett papper på mitten, måla på en sida, pressa ihop och öppna VARFÖR ser ni tydligare om en stund A B C

3 3 3 Spegling Spegling ökar medvetenheten om figurernas egenskaper Handlar i grunden om symmetri Olika typer av spegling Spegling i en linje (jämför: vanlig spegel) Spegling i två parallella linjer Spegling i en punkt Spegling i två skärande linjer Anknyt till erfarenheter från t.ex. textilslöjd (tröja, byxor etc.) Måla en halvbild som färdigställs av en kompis med hjälp av spegling 3 3 3

Tesselering (tessellering) Tessela (latin) = liten bit mosaik En tesselering är ett mönster av geometriska figurer som täcker hela planet utan att lämna hål Pröva olika sätt att lägga geometriska figurer: Sida mot sida Hörn mot hörn Håll ett jämnt avstånd mellan fingrarna Pröva både med en och flera former Vilka figurer tesselerar? Se hur figurerna tesselerar: http://www.malinc.se/math/basicgeometry/tessellationsv.php

Begrepp inom geometrin Begrepp behövs för att kunna förstå och lösa geometriska problem Geometriska begrepp: För eleverna bekanta begrepp t. ex. längd, fyrhörning Begrepp som enbart används i matematik t.ex. kvadrat, hypotenusa Begrepp som betyder olika i matematiken och i vardagsspråket t.ex. volym, bas Att hitta eleven där hon är nu och föra vidare Räcker inte med att veta att detta är en cirkel

Begrepp forts. Läraren behöver kunskap om begreppen och matematiken som helhet för att kunna förenkla på en för eleven lämplig nivå, men ändå hålla sig till exakthet enkla, intuitiva –> generella, abstrakta Anpassa undervisningen till elevernas nivå och använd ett språk de förstår och kan använda Begreppen utvecklas hela tiden, det behövs många nya kunskaper och erfarenheter kvadrat mönster kan både omskrivas och inskrivas i en cirkel

Plangeometriska figurer och begrepp Diskutera figurerna och beskriv dem så mångsidigt som möjligt Kategorisera: Figur Antal sidor Antal hörn Inte bara känna igen, utan att förstå Studera figuren med band och sugrörsstumpar

Omkrets – area – volym Aritmetiska förkunskaper som krävs är addition och multiplikation Verklighetsanknytning Laborativa metoder: Arbeta med icke standardiserade enheter, händer, fötter, tidningar, böcker, repstump, etc. Mät handens storlek -> areamodell Uppskattning för att öka rimlighetstänkandet Viktigt att ha en förståelse för figurernas egenskaper då man börjar studera begreppen omkrets, area och volym Stor nytta om man kan se figurernas egenskaper och likheter och till vilken ”familj” den tilldhör

Omkrets Omkrets innebär längden av en sluten kurva. Kurvan kan se ut på olika sätt: Bestäm omkretsen genom att uppskatta, jämföra, mäta, beräkna... Från addition till multiplikation till algebra Addera sidlängderna: 4 cm + 6 cm + 4 cm + 6 cm = 20 cm Mät halva omkretsen och dubblera: (4 cm + 6 cm) . 2 = 10 cm . 2 = 20 cm Omkretsen kan även skrivas: 2 . 4 cm + 2 . 6 cm = 8 cm + 12 cm = 20 cm

OBS! Verkliga proportioner med eleverna! Vad menas med area? Arean är storleken av ett område, en yta, med en bestämd begränsning. Området kan vara olika stort och se ut på olika sätt beroende på omkretsen. I början är det bra att använda metaforer som begränsad förklaring t.ex. a) Måla det stora husets area blått. b) Hur stor area kan du måla med målarfärgen? OBS! Verkliga proportioner med eleverna! 1m2 1m2 1m2 Räcker målarfärgen till ytan? 1m2 1m2 1m2 9 m2 1m2 1m2 1m2

Samband och likheter Undersök figurer Vilka av figurerna har lika stor area? Vilka av figurerna har samma egenskaper? Uppskatta figurens area Hur många tidningar täcker golvet? Använd olika typer av figurer, både regelbundna och oregelbundna

Pentominos figurer som byggs upp av fem lika stora kvadrater

12 pentomino-bitar Vilka är bitarnas sammanlagda area? Vilka rektangelområden är det möjligt att bilda med alla tolv bitar? Tessellerar alla bitar planet?

Lyft fram faktorisering! Vad är 60 delbart med? 6 . 10 5 . 12 4 . 15 3 . 20

Geometriundervisning utifrån van Hieles nivåer Nivå 1: Visualiseringsnivån Man ser geometriska begrepp som helheter Eleverna identifierar figurer Skilja trianglar från rektanglar Avgöra vilka rektanglar som är kvadrater Avgöra vilka trianglar som är liksidiga Inga formella definitioner (rektangel = räta vinklar, motstående sidor parvis lika långa) Viktigt att diskutera och låta barnen själv forma sina definitioner Nivå 2: Man intresserar sig för och analyserar figurernas delar experimentellt Eleverna lär sig beskriva sidor och vinklar Inga formella definitioner, egna definitioner på basen av undersökande arbetssätt

Van Hieles nivåer forts. Man arbetar med definitioner Eleverna härleder enkla egenskaper hos geometriska figurer Eleverna klarar också av enklare logiska resonemang och enklare bevis Först mera passivt Nivå 4: Eleverna bygger upp en helhetsbild av geometrin och härleder satser m.h.a. formella definitioner och axiom (=utsagor som fastslås då en matematisk teori grundläggs) Eleverna lär sig förstå att en teori kan byggas upp på flera sätt

van Hieles nivåer forts Innebär en modern och avancerad syn på geometrin Teorier byggs upp helt utan konkret förankring eller konkret betydelse Några viktiga aspekter på van Hieles teori: Eleverna befinner sig på olika nivåer, målet är att nå den högsta nivån Varje nivå har sina egna tankeformer, tankeformerna bör utvecklas för att passa följande nivå Tidiga erfarenheter ger ovärderligt stöd på den högre nivån

Beskriv figuren (öppen fråga) JA – NEJ –kort(slutna frågor) Är figuren rund? Har figuren hål?

Klassificera Plana figurer Månghörningar Fyrhörningar Parallellogram Rektanglar Kvadrater

En mera undersökande syn på lärandet i geometri Exempel: Fyrhörningar och dess egenskaper Undersök oregelbundna fyrhörningar med fokus på begreppen sida, hörn, vinkel och diagonal Om två sidor är parallella får vi en parallelltrapets Om de icke-parallella sidorna i parallelltrapetsen är lika långa är figuren symmetrisk Om de fyra sidorna är parvis parallella får vi antingen en parallellogram där diagonalen delar figuren i två kongruenta delar eller en symmetrisk figur

forts. Om en av vinklarna är rät, är alla vinklar räta. Då har vi en rektangel med två symmetriaxlar. Om alla sidorna i parallellogrammen är lika långa har vi en romb. Romben har två symmetriaxlar, som även är rombens diagonaler Om alla sidorna i parallellogrammen är lika långa och alla vinklar är räta, har vi en kvadrat. Familjen fyrhörning Undersökningarna av betydelse för att börja med areor, volymer Eleverna behöver inte lära sig en massa olika formler, utan lär sig se samband och helheter Kvadraten är därmed en fyrhörning, en parallellogram, en romb och en rektangel

Geometriska grundbegrepp Punkt anger ett bestämt läge i rummet, saknar utsträckning Linje oändlig utsträckning i en dimension Plan oändlig utsträckning i två dimensioner Rum oändlig utsträckning i tre dimensioner P l

Grundbegrepp forts. Stråle en del av en linje, har en bestämd ändpunkt men obegränsad åt andra hållet Sträcka en del av en linje, har två bestämda ändpunkter Versaler (stora bokstäver) används för att markera punkter Gemener (små bokstäver) används för att markera sträckor A A B A B C a b c

Grundbegrepp forts. Vinkel två strålar (vinkelben) med gemensam ändpunkt (vinkelspets) och en vridning som överför det ena vinkelbenet i det andra Spetsig vinkel v < 90° Rät vinkel: v = 90° Trubbig vinkel: 90° < v < 180° Rak vinkel: v = 180° Konvex vinkel: 180° < v < 360° Full vinkel: v = 360° http://www.mathsisfun.com/flash.php?path=/geometry/images/angles-drag.swf&w=645&h=360&col=%23FFFFFF&title=Angles+-+Acute%2C+Obtuse%2C+Straight+and+Right

Mätning av vinklar gradskiva geotriangel Nollpunkten skall sammanfalla med vinkelns spets Det ena vinkelbenet parallellt med geotriangelns nedre kant Vinkelns storlek avläses där det andra vinkelbenet skär skalan

Vinkelsumman Vinkelsumman i en triangel kan undersökas laborativt Vinkelsumman i en triangel är 180° Studera sambandet mellan antal hörn och vinkelsumman Figur Antal sidor Antal hörn Vinkelsumman

Bestäm arean för det svarta området. Ovanpå den regelbundna, svarta femuddiga stjärnan ligger en vit stjärna. Hur stora är de spetsiga vinklarna i de femuddiga stjärnorna? Bestäm vinklarnas storlek utan gradskiva.

Litteratur (utöver kurslitteraturen): Grundläggande geometri (Löwing, M., 2011) Matte med mening (Dahl, K. & Nordqvist, S., 1994) Att undersöka barns geometrikunskaper (Wittman, E.) Matematik är konst. Tillgänglig online via: http://www.ur.se/mb/pdf/Texter/Matematik_och_konst.pdf Matematik som kan förklara skönhet, mönster och symmetrier i slöjdarbeten. Tillgänglig online via: http://ncm.gu.se/node/2352 Tesselering. Tillgänglig online via: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2628_96_4.pdf Eschers tesseleringar http://www.ur.se/Mega/Matteverkstad/MC-Escher/ Matematik i musiken. Tillgänglig online via: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/4753_03_2.pdf