William Sandqvist william@kth.se Booles Algebra Genom att representera logiska uttryck på matematisk form, där sammanfognings-orden OR och AND motsvarade ett slags addition och multiplikation, blev det möjligt att med en algebra undersöka om kompli-cerade logiska utsagor och resonemang, i slutändan var sanna eller falska. 1938 "dammade" Claude Shannon av algebran och använde den till elektriska kontaktnät. Sedan dess är Booles algebra det huvudsakliga verktyget för all digital konstruktion. Claude Shannon matematiker/elektrotekniker (1916 –2001) George Boole matematiker (1815-1864) Boole's främsta bidrag till matematiken är den Boolska algebran ( 1847, 1854 ). Genom att representera logiska uttryck på matematisk form, där sammanfogningsorden OR och AND motsvarade ett slags addition och multiplikation, blev det möjligt att med en algebra undersöka om komplicerade logiska utsagor och resonemang, i slutändan var sanna eller falska. Booles algebra användes länge bara för studier av symbolisk logik, som är ett mycket smalt ämnesområde. Först när Claude E. Shannon vid MIT 1938 skrev en avhandling som visade hur Booles algebra kunde användas för att representera elektriska kontaktnät, "dammades" algebran av för att sedan dess bli det huvudsakliga verktyget för all digital konstruktion. Algebran bygger på ett talsystem med bara två tal, 1 och 0. Inom logiken motsvarar dessa tal sant/falskt, och för kontaktnät motsvarar de sluten/bruten kontakt. Logikens sammanfogningsord OR och AND motsvarar parallellkoppling och seriekoppling i kontaktnätet. DSV-kurser KTH-kurser William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se AND OR NOT Algebran bygger på ett talsystem med bara två tal, 1 och 0. Inom logiken motsvarar dessa tal sant/falskt, och för kontaktnät motsvarar de sluten/bruten kontakt. Logikens sammanfogningsord OR och AND motsvarar parallellkoppling och serie-koppling i kontaktnätet. Två parallellkopplade kontakter ger OR-funktion, eftersom det räcker med att en av dem är sluten för att hela kretsen ska vara sluten. Två slutande kontakter i serie ger AND-funktion. För att få en sluten krets krävs det att de båda seriekopplade kontakterna a och b vara slutna. Den boolska algebran innehåller också en inversoperator för logikens sammanfogningsord NOT. För inversoperatorn gäller: William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Dubbel invertering … Nisse ska ställa frågan: Vilken dörr skulle Du peka ut om Jag frågade dig vilken dörr som leder till friheten? Om Nisse ställer frågan till lögnaren så är svaret på den indirekta frågan vilken dörr som leder till friheten "lejondörren" eftersom lögnaren ljuger, och den dörr som pekas ut blir "frihetsdörren" eftersom lögnaren sin vana trogen ljuger igen. Den utpekade dörren är således säker. Om Nisse ställer frågan till sanningssägaren så är naturligtvis även då den utpekade dörren säker. Genom att frågan är så konstruerad att den tvingar lögnaren att använda "sin" NOT-funktion nästlat två gånger, NOT(NOT(x)) = x, upphävs dess verkan. Nisse hålls fången hos en grym sultan som trots sin grymhet bestämmer sig för att ge Nisse en chans. Han förs till ett rum med två dörrar, där en leder till friheten och en till lejonen. I rummet finns en fångvaktare, som antingen är sådan att han alltid ljuger eller är sådan att han alltid talar sanning. Fångvaktaren vet vilken dörr som leder till friheten. Nisse får ställa en fråga. Vad ska han fråga? Tack! Per Persson William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Räknelagar Logisk addition "+", OR, och logisk multiplikation "×", AND, följer i stort sätt de vanliga normala algebraiska distributiva, kommutativa och associativa lagarna (med ett "udda" undantag). William Sandqvist william@kth.se

Förenklingsregler och teorem William Sandqvist william@kth.se

Exempel: De Morgans lag De Morgans lag visas enklast med några exempel: 1) 2) William Sandqvist william@kth.se

Grundläggande funktioner William Sandqvist william@kth.se

Sammansatta funktioner William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Amerikanska symboler Burd, använder de amerikanska grindsymbolerna … William Sandqvist william@kth.se

Internationella och Amerikanska symboler Testa dig själv … William Sandqvist william@kth.se

Hur öppnar man kodlåset? (=minterm) Vilka knappar ska man sam-tidigt trycka på för att tända lampan? ( = öppna kodlåset) Svar: 4,d och 2,h men samtidigt måste man undvika att trycka på a b c e f g i och k! En produktterm där alla variabler ingår kallas för en minterm. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Logiknät SP-form Alla logiska funktioner kan realiseras med hjälp av grindtyperna AND och OR kombinerade i två steg. Vi förutsätter här att ingångs-variablerna även finns i inverterad form, om inte så behöver man naturligtvis även inverterare NOT till detta. Man kan realisera grindnätet dir-ekt ur sanningstabellen. Varje "1" i tabellen är en minterm. Funktionen blir summan av dessa mintermer. Man säger att funk-tionen är uttryckt på SP-form ( Summa av Produkter ). Men, det kan finnas mycket enklare grindnät med färre grindar som gör samma arbete. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Låt oss öva En logisk funktion har följande sanningstabell. Ange funktionen på SP-normalform (summa av produkter). William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Logiknät PS-form Alternativt kan man inrikta sig på sanningstabellens 0:or. Om ett grindnät återger funktionens 0:or korrekt så är ju även 1:orna rätt! Om således funktionen ska vara "0" för en viss variabelkombination (a,b) tex. (0,0) så bildar man summan ( a + b ). Den summan kan ju bara bli "0" för kombinationen (0,0). En sådan summa kallas för en maxterm. Funktionen uttrycks som en produkt av alla sådana maxtermer. Varje maxterm bidrar med en 0:a från sannings-tabellen. Funktionen sägs vara uttryckt på PS-form ( Produkt av Summor ). William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se  och  SP och PS-formerna brukar förenklat uttryckas genom en uppräkning av de ingående maxtermernas/mintermernas ordningsnummer: f(a,b) = (1,2) f(a,b) = (0,3) William Sandqvist william@kth.se

Förenkling med Booles algebra Funktionens SP-form har tre mintermer svarande mot sannings-tabellens tre ettor. Med ”koncensuslagen” kan en term a läggas till, som sedan efter vidare förenkling leder till uttrycket : f = a + b ( dvs. OR-funktionen ) Samma resultat hade man fått direkt om man använt PS-formen med maxtermen a + b. William Sandqvist william@kth.se

Användning av De Morgans lag Om man utrycker sanningstabellens ensamma 0:a som en minterm så har man gjort helt fel. Om man därefter inverterar mintermen så blir följdriktigt det helt rätt! Med De Morgans lag kan man till sist förenkla det inverterade uttrycket. William Sandqvist william@kth.se

Komplett logik NAND-NAND OR AND och NOT går att framställa med NAND-grindar. För logik-funktioner på SP-form kan man byta AND-OR grindarna mot NAND-NAND "rakt av". Kostnaden i antal grindar blir densamma! William Sandqvist william@kth.se

Komplett logik NOR-NOR OR AND och NOT går även att framställa med NOR-grindar. För logikfunktioner på PS-form kan man byta OR-AND grindarna mot NOR-NOR grindar "rakt av". Kostnaden i antal gindar blir densamma! William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se See-of-Gates En grindmatris kan maskprogrammeras med ett lednings-mönster för en egen specifik funktion. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Låt oss öva Ange namn och utsignal 1/0 för följande sex grindtyper när insignalerna är de som visas i figuren. AND OR 1 XOR NAND NOR 1 XNOR 1 William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Låt oss öva Ange insignalens värde 1/0 på ?-ingången för följande grindtyper så att utsignalen blir den som angivits i figuren. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Låt oss öva … En av uppgifterna på webben ! ? ! William Sandqvist william@kth.se

Från text till Boole-uttryck u0 = 1 om och endast om ”antingen både x0 och x2 är 0 eller x4 och x5 är olika” AND NOT XOR XOR William Sandqvist william@kth.se

Från text till Boole-uttryck NOT u2 = 0 om och endast om ” x0 är 1 och någon av x1 … x5 är 0 ” AND OR NOT William Sandqvist william@kth.se