Matematik I Föreläsning 4 14.10.2013 Hedi Hellstrand Lars Burman

Sammanfattning av föreläsning 3 Begreppsbildning Räknesättens egenskaper Kommutativitet Associativitet Distributivitet

Matematikens hörnstenar ALGEBRA ARITMETIK GEOMETRI

Föreläsning 4: Algebra Innehåll: Vad är algebra i årskurserna 1- 6? Algebraiska aktiviteter Algebraiskt och aritmetiskt tänkande Kurslitteratur: Löwing (2008). Grundläggande aritmetik. kap. 13 Emanuelsson, G. m.fl. (1997). Algebra i 1-12-perspektiv. Ingår i Algebra för alla. Övrig litteratur: Grevholm, B. m.fl. (2012). Taluppfattning, aritmetik och algebra. Ingår i Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Kullberg, A. & Runesson, U. (2007). Möte med bokstäver matematik.Tillgänglig via: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/0812_07_1.pdf Uppslaget: Algebra för alla. Tillgänglig via: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2627_97_3.pdf Palm, A. (2008). Missuppfattningar i Algebra, problem för läraren eller eleven. Tillgänglig via http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/3842_08_3.pdf

Hur ser följande figur ut i serien?

Vilket är sambandet mellan figurens nummer (N) och antalet kvadrater (K)? Figur nummer(N) N = 1 N = 2 N = 3 N = 4 Antal kvadrater (K) K = 1 K = 4 K = 9 K = 16

Den algebraiska cykeln

Hur många tändstickor behöver du för den tionde figuren? Resonera (se tidigare exemplet) Beräkna med hjälp av uttrycket: T = 2N(N+1) T = 2 . N . (N + 1) T = 2 . 10 . (10 + 1) T = 20 . 11 T = 220

Vad är algebra? Algebra Matematisk verksamhet som har att göra med generaliserande beräkningsprocesser (Sfard, 1995) Räkning med godtyckligt givna värden dvs. variabler, ”bokstavsräkning” Med hjälp av variabler kan vi generalisera Algebraiska språket är precist verktyg för att precist hantera tal och funktioner (Bergsten et al, 1997)

Vad är algebra? Algebraiska symboler + - . : > < = ≠ + - . : > < = ≠ a, b, c,... x, y, z,... 1, 2, 3, ... Algebraiska operationer Addition, subtraktion, multiplikation, division, rotutdragning och upphöjande (potenser) dvs. aritmetik

Algebraiskt tänkande Ability to think in symbolic language, to understand algebra as generalized arithmetic and to understand algebra as study of mathematical structures. Ability to understand equality and equations of algebra and to apply these within real world problem solving settings. Ability to understand relationships of quantities through patterns, defining functions, and applying mathematical modeling. (Crawford, 2001)

Vägen till algebra ARITMETIK ALGEBRA Operera med naturliga tal Räkna föremål Jämföra antal De fyra räknesätten Förståelse för matematiken Förståele för symboler Förståelse för talens och räknesättens egenskaper Samband Generalisering Generalisering av kunskap och förståelse ARITMETIK ALGEBRA

Choklad och kola ”En chokladplatta kostar 3 euro mera än en kolastång” Skriv ett uttryck för sambandet Hur många olika uttryck kan du skriva Läs mera i artikel: Möte med bokstäver http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/0812_07_1.pdf

Varför algebra i skolan? Användning av bokstavssymboler för generaliserande tal och som beteckning Tänkande på en högre, mer generell nivå (Vygotsky, 1999) Stärker andra områden i matematiken Taluppfattning Geometri osv. Stärker kopplingen till andra ämnen t.ex. datateknik, fysik, kemi Hjälpmedel för att undersöka och upptäcka omvärlden Redskap för att lösa mer avancerade uppgifter Nyckel för vidare studier

Algebra i skolan Problemlösningsverktyg Bokstavssymbolen betecknar det som är obekant, konstant Vi löser och förenklar uttrycket t.ex. choklad och kola, Bonden Birger Generaliserande aritmetik Bokstavssymbolen betecknar en beskrivning av mönstret Vi översätter mönstret med matematiskt symbolspråk, ett uttryck t.ex. tändstickorna; kommutativa lagen

Algebra i skolan Studie av relationer (samband) Bokstavssymbolen betecknar variabeln eller parametern Vi beskriver sambandet som funktioner som presenteras i grafer t.ex. sambandet mellan tid och sträcka Studie av strukturer Bokstavssymbolen betecknar godtyckliga symboler Vi omskriver och motiverar

Algebra i läroplanen Algebra i olika årskurser http://www02.oph.fi/svenska/ops/grundskola/LPgrundl.pdf åk 1-2 • att i bilder se regelbundenheter, förhållanden och beroenden • enkla talföljder 3-5 • begreppet uttryck • att tolka och skriva talföljder • regelbundenheter, förhållanden och beroenden • att söka lösningar till ekvationer och olikheter genom slutledning 6-9 • uttryck och hyfsning av uttryck • potensuttryck och hyfsning av potensuttryck • begreppet polynom, addition, subtraktion och multiplikation med polynom • begreppet variabel, beräkning av värdet av ett uttryck • ekvationer, olikheter, definitionsmängd, lösningsmängd • lösning av förstagradsekvationer • lösning av ofullständiga andragradsekvationer • proportionalitet • ekvationssystem samt algebraiska och grafiska lösningar av dem • undersökning och uppställning av talföljder

Från aritmetik till algebra

4x + 3 = 2x + 7 = = X X Ekvationslösning Länkar: Algebra, en elev förevisar konkret algebra i stil med exemplet ovan http://www.youtube.com/watch?v=HBf25kNs0tA&feature=related Förberedande algebra i förskolan, laboration med balansvåg: http://www.youtube.com/watch?v=517db7urh0o

Problemlösning Bonden Birger har tappat räkningen på sina djur. Han har både hästar och strutsar. Tillsammans har djuren 21 huvuden och 58 ben. Men hur många hästar och hur många strutsar har Birger? Hur kan uppgiften lösas på olika sätt, med och utan algebraiska uttryck?

http://www. cartoonstock http://www.cartoonstock.com/newscartoons/cartoonists/rma/lowres/rman30l.jpg

Svårigheter med algebra Behandling av bokstäver kan inte göras exakt som med tal, det algebraiska språket har specifika överenskommelser och symboler a + b är ett resultat, medan 5 + 7 förenklar vi som 12 2ab innebär 2 . a . b, men vi kan inte förenkla 2 . 3 . 8 som 238 teckenreglerna är av stor betydelse Algebra upplevs som lösryckt, meningslöst, onödigt och främmande Avståndstagande – ifrågasättande Bidrar till en negativ bild av skolmatematiken?!

Övergång från aritmetik till algebra Arbeta mångsidigt med förberedande algebra till inledande algebra till algebra. Fäst vikt vid övergången från förberedande algebra, inledande algebra och algebra. Arbeta mångsidigt och kreativt för att visa spänningen och nöjet i matematikens språk Variera arbetssätt och representationsformer Arbeta målmedvetet och strukturerat från början Diskutera och prata om det ni ser, använd det matematiska språket både verbalt och skriftligt

Begreppsbildning genom de olika representationsformerna Konkreta modeller Symboler Bildmodeller Språk/ talad matematik Omvärlds-situationer avbilda formalisera modellera illustrera symbolisera konkretisera schematisera rita skriva läsa förenkla/ generalisera avbilda beskriva schematisera rita beskriva dramatisera

Sammanfattning föreläsning 4 Vad är algebra? Algebra i skolan Från aritmetik till algebra Förberedande algebra Inledande algebra Algebra Svårigheter med algebra

TACK! Vi ses på Övning 4! Kom ihåg uppgiften!