Om osäkerheten i arealbestämningar Patric Jansson Avdelningen för geodesi och geoinformatik patric.jansson@abe.kth.se 1

Bakgrund och syfte Varför behöver vi bestämma osäkerheten i arealbestämningar? i detaljplaner föreskrivs det att arealen för en fastighet inte får vara under ett visst antal kvadratmeter för att få bygga fastighetstaxering; om en värdegräns passeras vid fastighetstaxering får det ekonomiska konsekvenser Alltså kan osäkerheten i arealbestämningen ha konsekvenser i plan- och skattesammanhang Arealuppgiften i fastighetsregistret har ingen beviskraft i sig, inte rättsligt intressant uppgift. Kuriosa: Märkligt nog kan det finnas fastigheter med negativa arealer. En fastighet har haft en areal från början, sedan har mark styckats av efterhand, då har arealerna bara dragits från ursprungsfastighetens areal. Till slut har allt i registret dragits ifrån, fastän fastigheten fortfarande har areal på marken. Man mäter således vanligtvis inte in restfastigheten (stamfastigheten). 2

Bakgrund och syfte Varför behöver vi bestämma osäkerheten i arealbestämningar? ekonomiska konsekvenser, t ex vid utvärdering av arealer och potentiell avkastning för olika grödor jordbrukspolitik – ekonomiskt stöd/bistånd EU:s beslutsstödssystem för ekonomiskt stöd (IACS), jordbrukare rapporterar arealer för olika grödor. Några kontrolleras i fält med GNSS-mätningar och några kontrolleras i högupplösta satellitbilder. för att sätta upp toleranser för skillnaden mellan två bestämningar av en och samma area, t.ex. vid kontrollmätning (ofta aktuellt vid uppföljning av erhållna EU-bidrag) 3

Bakgrund och syfte Mätosäkerheten redovisas sällan tillsammans med arealbestämningar Det råder till och med en närmast total okunskap om hur säkra/osäkra arealuppgifter egentligen är Ofta finns en alltför stor tilltro till uppgifternas exakthet 4

Hur uppskattar vi mätosäkerhet? En mätning ska ge två resultat: -mätvärde -uppskattning av mätosäkerheten. Båda uppgifterna är viktiga om vi vill försäkra oss om att mätningen används i rätt sammanhang, dvs. att den uppfyller de kvalitetskrav som den aktuella tillämpningen ställer. 5

Referenslitteratur 6

Om osäkerheten i arealbestämningar Innehåll: Några typfall fyrhörningar godtyckliga månghörningar arealskillnader Höjd-, projektions- och lutningsfel höjdfel projektionsfel lutningsfel Andra arealdefekter Kvalitetsuppgifter för geodata 7

Yta vs. area Yta är den fysiska ytan i tre dimensioner Med area avses vanligen storleken på det område i planet som begränsas av projektionen av ytans begränsningslinje Ofta har begränsningslinjen formen av en n-sidig polygon med hörnpunkterna (Ni,Ei). Det ger möjlighet att bestämma areans mätosäkerhet med tämligen enkla medel N E 8

Hur uppskattar vi mätosäkerhet? En mätning ska ge två resultat: -mätvärde -uppskattning av mätosäkerheten. Båda uppgifterna är viktiga om vi vill försäkra oss om att mätningen används i rätt sammanhang, dvs. att den uppfyller de kvalitetskrav som den aktuella tillämpningen ställer. 9

Lantmätarformeln  u(A) = { Ni, Ei, ui(N), ui(E) } Formeln (Gauss): där arean för en polygon beräknas ur hörnpunkternas koordinater Ni respektive Ei brukar benämnas ”lantmätarformeln”  u(A) = { Ni, Ei, ui(N), ui(E) } 10

Några typfall Fyrhörningar Exempel: Bestäm standardosäkerheten för en kvadratisk fastighet med sidan 100 m om varje hörnpunkt har bestämts med standardosäkerheten 10 mm. Bestäm även fastighetspriset och dess standardosäkerhet om priset/kvadratmeter är 60 tkr (Stockholms innerstad). Lösning: Standardosäkerheten blir 100  0,01 = 1 kvadratmeter Omsatt i fastighetspris får vi 100  60 000kr = 6 miljoner kronor med standardosäkerheten 60 000 kronor. Genom att omsätta mätosäkerheten i kronor blir den mer intuitivt begriplig: den ger alltså en osäkerhet i kostnaden på 60 000 kr! 11

Några typfall Godtyckliga månghörningar Exempel: Beräkna den approximativa standardosäkerheten för arean av den oregelbundna 10-hörningen nedan. Punkt N [m] E [m] u(punkt) [mm] 1 120 100 11 2 180 3 140 4 240 20 5 200 6 220 8 7 15 9 10 Lösning: genomsnittlig sidlängd = 52,915 (m) 9,5 (mm) {enligt approximativ metod i rapporten} 0,79 kvadratmeter Det korrekta värdet är 0.85 kvadratmeter. Arean är 1 ha. 12

Några typfall Arealskillnader eller, om 13 Exempel: I samband med ansökan om EU-bidrag bestämdes en area till 3,00 ha. Vid kontrollmätning i efterhand uppmättes arean till 2,97 ha. Är skillnaden att betrakta som signifikant, dvs. riskerar bonden efterräkningar för att ha lämnat felaktiga uppgifter? Det skiljer trots allt 0,03 ha = 300 kvadratmeter. Området har 18 brytpunkter och en genomsnittlig sidlängd på 60 meter. Arean beräknades genom att brytpunkterna positionsbestämdes med standardosäkerheten u(punkt) = 1 meter. Lösning: Standardosäkerheten blir 127 kvadratmeter u(differens) = 2  u(area) = 179,6 kvadratmeter Tolerans = 2  u(differens) = 360 kvadratmeter (95% konfidensnivå) 13

Geometriska variationer Höjd-, projektions- och lutningsfel Med ”lantmätarformeln” beräknas arean ur koordinater i ett plant koordinatsystem. Det innebär bl.a. att koordinaterna först har reducerats ned till referensellipsoiden och sedan projicerats ut till projektionsplanet. Avvikelsen mellan den faktiska och den erhållna arean beror på valet av ellipsoid och projektionsmetod. Om den ”sanna” arean är viktig att återskapa – t.ex. vid precisionsutsättning – måste vi därför ta hänsyn till höjdfel projektionsfel. Om ytan som ska arealbestämmas inte är plan måste vi dessutom korrigera för lutningsfel eller utnyttja en digital terrängmodell (DTM). 14

Höjdfel 15 h h arealkorrektion area 1,000000 10000,00 50 1,000016 1,000000 10000,00 50 1,000016 10000,16 100 1,000031 10000,31 150 1,000047 10000,47 200 1,000063 10000,63 250 1,000078 10000,78 300 1,000094 10000,94 350 1,000110 10001,10 400 1,000125 10001,25 450 1,000141 10001,41 500 1,000156 10001,56 1000 1,000313 10003,13 1500 1,000469 10004,69 2000 1,000626 10006,26 15

Projektionsfel Medelmeridian, k0 = 1 16 Avbildningsfel ökar Zon 13º 30' 23º 15' 21º 45' 20º 15' 18º 45' 18º 15º 12º 15º 45' 17º 15' 14º 15' 16º 30' Avbildningsfel ökar Avbildningsfel ökar 16

Projektionsfel Förstoringsfaktor: < 50 ppm = 0,5 cm/100m 17 Förstoring i mm/km Avstånd från medelmeridianen i km Förstoringsfaktor: < 50 ppm = 0,5 cm/100m 17

Projektionsfel Medelmeridian k=1 k0 = 0,9996 Avbildningsfel ökar 18

Projektionsfel 19

Exempel – höjd-och projektionskorrektion Exempel: Vilken blir den totala korrektionsfaktorn för arealer på medelmeridianen och på höjden 400 meter och skalfaktorn 0,9996? Lösning: Vi har alltså E = 0 km h = 0.4 km (400 m) k0 = 0,9996 Totala korrektionsfaktorn: dvs. 925 ppm eller ca. 10 kvadratmeter/hektar. Jämför med tidigare exempel där standardosäkerheten (den statistiska mätosäkerheten) bara var 1 kvadratmeter för en hektar! ellipsoid: GRS 80 halva storaxeln: a= 6 378 137 m avplattning: f= 1/298,257222101.. Definieras av de 21 nationella fundamentalpunkterna, som också ingår i Swepos-nätet 20

Lutningsfel Projicerad area: Lutningskorrektion: Exempel: Bestäm den projicerade arean för en brant slalombacke som är 50 m bred, 1000 m lång och lutar 35 (gamla) grader. Lösning: Den verkliga arean – utan projektion – blir förstås = 50 000 kvadratmeter. Formeln ovan ger: 40 958 kvadratmeter. Den verkliga arean på marken blir alltså 22 % större än den projicerade – något att ta hänsyn till om man har i uppgift att så gräsfrö i backen! 21

Digitala höjddata Digital höjdmodell (DEM) i form av ett triangelnät (TIN) Herons formel för arean av en plan triangel med godtycklig lutning lyder där a, b, c är sidlängderna och 22

Digitala höjddata Höjdmodell i rasterform 23

Digitala höjddata Höjdmodell i rasterform 24 Exempel: Bestäm den verkliga arean, med hjälp av den beskrivna metoden, för den markerade cellen med höjdvärdet 138 om cellernas sidlängd är 100 m och de angivna höjdvärdena är i meter. Lösning: Börja med att beräkna de 16 triangelsidorna. Trimma triangelsidorna för att erhålla trianglarna i-viii. Använd dessa triangelsidor för att erhålla varje triangels verkliga area. Slutligen, summera de åtta trianglarnas arealer för att erhålla den verkliga arean för cellen. Den verkliga arean är 10122,8 m2. Det är 123 m2 mer än vad den horisontella (projicerade) arean är (100 m  100 m = 10000 m2). Härutöver tillkommer sedvanlig höjd- och projektionskorrektion enligt tidigare avsnitt. 24

Mindre matematisk, mer resonemangsmässig beskrivning av andra 'arealdefekter'... Den geometriska osäkerheten – lägesosäkerheten – är ofta det första vi tänker på när vi talar om datakvalitet. Men det finns andra, minst lika viktiga kvalitetsmått Vanligtvis delas kvalitetsteman upp i två grupper beroende på om innehållet är kvantitativt mätbart eller inte. Användbarhet, syfte och ursprung refererar till språklig beskrivning av data och är därmed snarare kvalitativa än kvantitativa (SIS, 2004). Ett urval av de olika kvalitetsteman som finns: -datas ursprung -fullständighet -lägesosäkerheten (lägesnoggrannhet) -tematisk osäkerhet -logisk konsistens -temporal osäkerhet -separat kvalitetsbeskrivning för attributdata kan vara befogad Ett ytterligare kvalitetsmått som ibland används är aktualitet (men beskrivs inte i ISO 19113 som ett kvalitetstema,men förknippas ofta med temporal osäkerhet/noggrannhet) 25

Andra arealdefekter Vaghet och klassningsriktighet Svårigheten att beskriva klasser brukar benämnas vagueness (vaghet) Vaghet uppstår på grund av brist på distinktion mellan olika (svårdefinierade) klasser eller individuella objekt. Vaghet uppstår när det vi mäter ej är väl definierat. Ett annat fenomen som har stor inverkan på osäkerheten vid arealbestämning är klassningsriktigheten eller den tematiska mätosäkerheten. Vid tematisk mätosäkerhet är klasserna rätt definierade – och väl definierade – men vi har en mätosäkerhet i det vi mäter. Den ”vanliga” mätosäkerheten skulle vi analogt kunna benämna geometrisk mätosäkerhet. 26

Andra arealdefekter Vaghet och klassningsriktighet Exempel: Bestämning av barrskogsareal Har vi entydiga definitioner på vad som är skog (hur höga träd t.ex.) och hur renodlad skogen måste vara, exempelvis hur stor andel lövträd det får finnas i en barrskog (en björk, två björkar osv.)? Av detta framgår att den tematiska osäkerheten ibland är betydligt större än den geometriska. Detta gäller såväl vid terrester mätning som vid fjärranalys, dvs. mätning i flygbilder, tolkning av satellitbilder etc. Observatören måste i båda fallen ta ett beslut, som vanligen blir subjektivt. 27

Andra arealdefekter Geometrisk representivitet (rasterdata) Det område som ska arealbestämmas, representeras på ett grövre sätt och blir olika beroende på hur begränsningslinjen ligger i förhållande till rasterrutnätet. Osäkerheten i en arealbestämning påverkas naturligtvis av detta. Exemplet nedan kan tolkas som en transformation, dvs. byte av koordinatsystem. Det framgår att t.ex. vridningar påverkar representationen – och därmed arealens storlek; detsamma gäller små förskjutningar i sidled (translationer). Man får alltså inte bli förvånad om man får litet olika arealer före och efter en sådan åtgärd Arealberäkning m.h.a. rasterdata – före (33 pixlar) och efter (30 pixlar) en transformation 28

Andra arealdefekter Tematisk representativitet (rasterdata) Den tematiska representativiteten har att göra med att varje pixel endast kan anta ett enda värde. Detta värde (t ex ett gråtonsvärde i en pankromatisk bild, en höjd i en rasterlagrad DEM, ett markslag i en marktäckekarta etc.) måste alltså vara representativt för den yta som pixeln täcker. 29

Andra arealdefekter Oskarp logik Oskarp logik med decimala pixelvärden i blandskogen. En etta anger ren barrskog, en nolla ren lövskog och decimala värden andelen barrträd i blandskogen Problemet med att varje pixel endast kan anta ett värde, eller en objektklass, kan reduceras m.h.a. något som brukar benämnas Fuzzy Logic. Engelskans ”fuzzy” kan på svenska översättas till otydlig, luddig eller oskarp. Därför brukar man översätta termen till oskarp logik, ett begrepp som är ganska nära kopplat till ”vagueness” och rasterdata Lösning: Totalarean blir 674 = 168 ar, eller 1,68 hektar. Barrskogen upptar 20,7 pixlar, dvs. 82,8 ar eller 0,83 hektar. Lövskogens area blir 168 – 82,8 = 85,2 ar eller 0,85 hektar 30

Grafisk simulering Grafisk simulering för att visualisera arealosäkerheten, som uppträder som en bred bård runt den arealbestämda ytan. Figuren visar att det ger en mer intuitiv känsla än bara osäkerhetsmått. Monte Carlo-simulering. 20 simuleringar. Normalfördelade punktfel med standardavvikelsen 10 meter/punkt. Nominell area är 100100 meter, dvs. 1 ha. x 31

Sammanfattning 3 decimaler!!! -11,111999 -10,993211 11 decimaler! -12,791999 -16,2543791 -13,9933791 -11,8213791 -7,379231 -10,2131332 -8,8213791 -2,2131332 -5,231546 -6,9933332 -5,888546 -3,546888 -4,4611132 -14,2543791 -6,231546 -5,1132171 32

Sammanfattning -11,111999 -10,993211 -12,791999 -16,2543791 -13,9933791 -11,8213791 -7,379231 -10,2131332 -8,8213791 -2,2131332 -5,231546 -6,9933332 -5,888546 -3,546888 -4,4611132 -14,2543791 -6,231546 -5,1132171 33

Sammanfattning Tänkbara tillämpningar av osäkerhetsuppgifter är t.ex.: att bifoga en osäkerhetsangivelse i samband med leverans av en arealbestämning att sätta upp toleranser för acceptabla arealosäkerheter för ytor av olika utseende i olika tillämpningar att sätta upp toleranser för skillnaden mellan två bestämningar av en och samma area, t.ex. vid kontrollmätning (ofta aktuellt vid uppföljning av erhållna EU-bidrag). 34