Algebra och icke-linjära modeller Kapitel 2 Algebra och icke-linjära modeller manada.se

2.2 Andragradsekvationer manada.se

Kvadratrotsmetoden 𝑥 2 =25 𝑥=± 25 𝑥 1 =5 𝑥 2 =−5 5 2 =25 (−5) 2 =25 Ekvation har 2 lösningar 𝑥=± 25 𝑥 1 =5 𝑥 2 =−5 5 2 =25 respektive (−5) 2 =25 Kontroll: 𝑥 2 =3 Ekvation har 2 lösningar 𝑥=± 3 𝑥 1 = 3 ≈ 1,73 𝑥 2 =− 3 ≈ − 1,73 Exakt svar Närmevärde manada.se

Faktorisering som lösningsmetod Lös andragradsekvationerna: a) (𝑥+24)(𝑥−2)=0 Minst en av faktorerna 𝑥+24 eller 𝑥−2 måste vara 0, för att produkten ska bli 0 𝑥+24=0 𝑥−2=0 𝑥 1 =−24 𝑥 2 =2 Svar: 𝑥 1 =−24, 𝑥 2 =2 b) 𝑥 2 +11𝑥=0 Skriv VL i faktor form genom att bryta ut x 𝑥(𝑥+11)=0 Minst en av faktorerna i VL måste vara 0, för att produkten ska bli 0 𝑥 1 =0 𝑥+11=0 𝑥 2 =−11 Svar: 𝑥 1 =0, 𝑥 2 =−11 manada.se

Faktorisering som lösningsmetod Lös andragradsekvation: c) 9𝑥 2 =−15𝑥 Samla termer i VL 9𝑥 2 +15𝑥=0 Faktorisera VL genom att bryta ut x 𝑥(9𝑥+15)=0 Minst en av faktorerna i VL måste vara 0, för att produkten ska bli 0 𝑥 1 =0 9𝑥+15=0 9𝑥=−15 𝑥 2 = −15 9 = −5 3 =− 5 3 Svar: 𝑥 1 =0, 𝑥 2 =− 5 3 Den här metoden kallas Nollproduktmetoden. manada.se

Faktorisering som lösningsmetod Ange en andragradsekvation med rötterna 𝒙 𝟏 =𝟓 och 𝒙 𝟐 =𝟐. Vi skriver vänstra ledet (VL) i faktorform och låter HL=0 Det ena faktorn ska vara 0 när 𝒙 = 5 Det villkoret stämmer för faktorn 𝑥−5: 𝑥−5=0↔𝑥=5 Det andra faktorn ska vara 0 när 𝒙 = 2 Det villkoret stämmer för faktorn 𝑥−2: 𝑥−2=0↔𝑥=2 Vi bildar en produkt av faktorer i vänstra ledet och sätter HL=0 𝑥−5 𝑥−2 =0 Ekvationen uppfyller kraven Vi kan utveckla vänster led och multiplicera uttryck inom parenteser med varandra 𝑥 2 −7𝑥+10=0 Svar: 𝒙−𝟓 𝒙−𝟐 =𝟎 eller 𝒙 𝟐 −𝟕𝒙+𝟏𝟎=𝟎

Kvadratkomplettering Lekparkens fotbollsplan har en längd som är 6 meter större än bredden. Planens area är 352 m2 . Vilka mot har fotbollsplanen? 𝑥 𝑚 – bredden 𝑥+6 𝑚 – längden 𝑥 𝑥+6 =352 ⟹ekvation för fotbollsplans area som kan utvecklas 𝑥 2 +6𝑥=352 𝒙 𝟐 𝟔𝒙 𝒙 𝒙 6 Vi skriver om ekvationen så att vänstra ledet blir ett uttryck i kvadrat. Vi ska göra en kvadratkomplettering 𝒙+6 Uttrycket 𝑥 2 +6𝑥+9 kan skrivas om till (𝑥+3) 2 med 1:a kvadreringsregeln. Därför adderar vi 9 till båda led i ekvationen 𝑥 2 +6𝑥=352 och får ⟹ manada.se

Kvadratkomplettering 𝑥 2 +6𝑥+9=352+9 Förenkla HL Utnyttja att (𝑥+3) 2 = 𝑥 2 +6𝑥+9 𝑥 2 +6𝑥+9=361 (𝑥+3) 2 =361 Vi får två lösningar: 𝑥=−3+19=16 och 𝑥=−3−19=−22 Den negativa lösningen är inte intressant eftersom en sträcka alltid är positiv 𝑥+3=± 361 𝑥+3=±19 Bredden är 16 m och längden är 16+6= 22 m. Svar: Planets mått är 22×16 manada.se

Kvadratkomplettering Det här sätt att skriva om vänsterledet till en kvadrat kan vi visa med hjälp av figurer 3x 𝒙 𝟐 𝒙 3 32 𝒙 𝟐 𝒙 6 𝒙+6 𝟔𝒙 𝒙 𝟐 𝒙+3 𝒙 3x 3x 𝒙 3 3 𝒙+3 Om vi lägger till en liten kvadrat med area 32 =9 𝑚2 Så bildas en stor kvadrat med sidan (𝑥+3) 𝑚 Vi omfördelas figurens yta. Namnet kvadratkomplettering kommer av att man kompletterar ekvationens båda led med en kvadrat Vi har kompletterat vår figur med en kvadrat med area 32 m2 som motsvarar additionen med 9 i areaekvation: 𝑥 2 +6𝑥+9=352+9 manada.se

Andragradsekvationer Lösningsformeln Halva koefficienten för 𝑥 med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för 𝑥 Konstanta termen med ombytt tecken 𝒙= Skriv detta med egna ord manada.se

pq-folmeln En andragradsekvation av formen har lösningar och 𝒙 𝟏 =− 𝑝 2 + 𝑝 2 2 −𝑞 𝒙 𝟐 =− 𝑝 2 − 𝑝 2 2 −𝑞 och manada.se

Andragradsekvationer 𝑦= 𝑥 2 −6𝑥+8 𝑥 2 −6𝑥+8=0 𝑥=+ 6 2 ± 6 2 2 −8 𝑥=3± (3) 2 −8 Symmetrilinje 𝑥=3± 9−8 𝑥=3± 1 1 1 𝑥=3±1 Minimipunkt (3,−1) 𝑥 1 =3+1=4 𝑦= 3 2 −6∙3+8 𝑥 2 =3−1=2 𝑦=9−18+8=−1 manada.se

Nollställe 𝑥 2 −6𝑥+11 𝑥 2 −6𝑥+9 𝑥 2 −6𝑥+8 Inget nollställe Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen

Olika typer av tal Z -1 -8 N 1 7 Talmängd är avgränsad samling av tal som beskrivs ofta med hjälp av symbolen {} t.ex. { -1, -0.5, 0, 0.3, 2, 27} - 𝟏 𝟓 √2 π 𝟕 𝟗 𝟐 𝟑 Q R N Naturliga tal: de positiva heltalen (0), 1, 2, 3, 4... Z Hela tal: alla hela tal, positiva som negativa Q Rationella tal: kan skrivas som en kvot mellan två hela tal (Nämnaren ≠ 0) Irrationella tal: det irrationella talet 𝝅 t ex har ett exakt värde som inte kan uttryckas med ett ändligt tal och anges därför vanligen ungefärligt, approximativt, med 3.14 R Reella tal: de rationella och de irrationella talen tillsammans. Mot varje punkt på tallinjen svarar ett reellt tal C Komplexa tal: sammansatt av en reell och en imaginär del. Dessa tal har kommit till för att vi skall få ett svar på frågan: hur mycket är −1 ?

Kort om komplexa tal Ekvationen saknar reella lösningar Det finns inte något reellt tal vars kvadrat är negativ Vi inför ett nytt tal 𝑖 med egenskaper att 𝑖2 = − 1 Talet 𝑖 kallas imaginärt tal

Kort om komplexa tal Komplext tal Realdel Imaginärdel Ett komplext tal 𝒛 kan skrivas som 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 där 𝒂 och 𝒃 är reella tal. 𝑖 kallas den imaginärt tal och har egenskapen 𝑖2= − 1 Tal består av två delar

Komplexa talplanet Im 𝑧=3+2𝑖 Re I det komplexa talplanet är alla komplexa tal punkter. 𝒙-axeln är reella axeln (Re) med våra reella tal 𝒚-axeln är den imaginära axeln (Im) med de imaginära talen Im 𝒚 𝑧=3+2𝑖 Real del Imaginär del x Re

Komplexa tal

Komplexa tal Skriv som ett imaginärt tal

Komplexa tal Lös ekvationen