Matematik 4 Kap. 4 Komplexa tal

Talängder N Naturliga tal Z Hela tal Q Rationella tal R Reella tal C Komplexa tal

”Roten ur minus ett”

”Roten ur minus ett”

Talformatet a + bi

Komplext konjugat

Talformatet a + bi

Talformatet a + bi

Talformatet a + bi

Talformatet a + bi

Kan man lösa denna andragradsekvation?

Kan man lösa denna andragradsekvation? Ekvationen saknar reella lösningar, men har två komplexa lösningar.

Addition av komplexa tal

Subtraktion av komplexa tal

Multiplikation av komplexa tal

Division av komplexa tal

Abas fråga Bestäm z2 på a + bi form. Kontroll: Q.E.D.

Absolutbeloppet Var har du sett detta förr?

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet Är detta påstående korrekt?

Från a + bi till polär form Hur kan vi kontrollera detta?

Från a + bi till polär form

Från a + bi till polär form

Polär form – Multiplikation & Division

Polär form – Multiplikation

Polär form – Division

Läxa till Dennis 2017-11-20 Im Re

Läxa till Dennis 2017-11-20 Multiplikation av komplexa tal i polär form

Läxa till Dennis 2017-11-20 Komplexa nollställen

Läxa till Dennis 2017-11-20 Komplexa nollställen

Läxa till Dennis 2017-11-20 Komplexa nollställen

Läxa till Dennis 2017-11-20 Komplexa nollställen

Ur Nationalencyklopedin om komplex tal komplext tal, tal av allmännare slag än de reella talen och som tillåter räkning med rötter ur negativa tal. Varje komplext tal är av formen z=x+i y, där i är den imaginära enheten med i2=−1, och x och y reella tal, kallade realdel respektive imaginärdel av z. Ett polynom som inte är konstant kan sakna reella nollställen, men har däremot alltid ett komplext nollställe. Denna viktiga egenskap motiverar utvidgningen från de reella talen, R, till de komplexa, C. Talet i är ett av nollställen till polynomet z2+1 (man väljer godtyckligt ett; det andra blir då −i). Det anmärkningsvärda är att när man har infört detta nollställe i, så får också alla andra polynom nollställen, nämligen lika många som gradtalet.

Ur Nationalencyklopedin om komplex tal Varje komplext tal kan även skrivas på formen z=r·ei θ där r är positivt eller noll (kallas absolutbeloppet av z, r=|z|) och θ är ett reellt tal, kallat argumentet för z. Komplexa tal kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras som reella: de bildar en kropp. För att åskådliggöra dem ritar man in dem i det komplexa talplanet eller på Riemann-sfären. Källangivelse Nationalencyklopedin, komplext tal. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/komplext-tal (hämtad 2017-11-21)

Komplexa talplanet

Riemann-sfären

Cirklar i det komplexa talplanet Ekvation Vilket fel gör läraren i Youtube-filmen? Youtube: Cirklar i det komplexa talplanet

Cirklar i det komplexa talplanet Ekvation Youtube: Cirklar i det komplexa talplanet

de Moivres formel

de Moivres formel

de Moivres formel Vi skriver om talet till polär form Radianer!

Ekvationen zn = a

Ekvationen zn = a Dessa är rötter/lösningar till ekvationen

Uppgift 4324 d)

Eulers formel Skriv med Eulers formel Först till polär form

Eulers formel Formelbladet Skriv med Eulers formel Först till polär form Från polär form till Eulers formel

Eulers formel - Uppgift 4336 d) På räknaren:

Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

Polynomdivision Hur kan man testa att man har rätt? Matematik 4, sid 221, uppgift 4440

Polynomdivision Matematik 4, sid 221, uppgift 4440

Polynomdivision Matematik 4, sid 221, uppgift 4440

Polynomdivision Matematik 4, sid 221, uppgift 4440

Polynomdivision https://people.kth.se/~gunnarj/MATS/M2/polyte.html

Youtube Kap 4 - sammanfattning https://www.youtube.com/watch?v=0m2JQTVAKF8