Kap 1 - Algebra och linjära modeller

1.1 Algebra

Prioriteringsreglerna

Prioriteringsreglerna

Prioriteringsreglerna Svar: X = 4 X = 1 X = 2

PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) + 23 + 4*2 - 2 = 4 + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 4 + 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 4 + 8 + 8 - 2 = (mult.) 4 + 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub.) ARBETA NEDÅT!

MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL (-4)×(-3) = 12 4×(-3) = -12 (-24)/3 = -8 (-24)/(-3)= 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus

ARBETA NEDÅT! NEGATIVA TAL 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3 17 - 6 + 5 – 6 17 - 6 + 5 – 6 17 + 5 - 6 – 6 22 - 12 10 ARBETA NEDÅT!

TALLINJEN Skillnad mellan 3 och (-3)? Differens av 3 och (-3)? 3 – (-3)= 6

PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL – (-4) + (-6) = -10 (-4) - (-6) = 2 + Tecken intill varandra: LIKA  + OLIKA  ­–

RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? HÄR FÖRKORTAR VI VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI

MULTIPLIKATION AV BRÅK Samma värde

ATT INVERTERA ETT BRÅK

ATT INVERTERA ETT HELTAL

ATT INVERTERA ETT HELTAL

DIVISION AV BRÅK ”DIVISION MED 2/7  MULTIPLIKATION MED 7/2” HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7  MULTIPLIKATION MED 7/2”

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK Jämför!

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

Algebraiska uttryck Variabeltermer Konstanttermer

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck 15

Algebraiska uttryck a²+ab

Algebraiska uttryck

Ekvationer

Ekvationer

1.2 Funktioner

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK Jämför!

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

f(x) = y f(x) f(x) utläses f av x f är en funktion av x Men det går också att säga y f(x) = y

Hitta tal… x y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Hitta tal… x f(x) 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Hitta tal… n y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Symbolen f(x)

Funktionsmaskin x f(x) = 2x + 1 x Med andra ord y = f(x) f(x) = y JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett f(x) = 2x + 1 2x + 1 x f(x) = y IN = 1  UT = 3 f(x) = y IN = 2  UT = 5 Vad gör funktionsmaskinen? IN = 3  UT = 7 Vilken funktion har den? IN = 4  UT = 9 Hur kan man skriva funktionen? IN = 5  UT = 11 f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)

• • NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X f(x) y X = 2 Y = 3 (5,6) X = 5 Y = 6 3 (2,3) x 2

Funktion eller inte funktion? JA! JA! Nej! Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET

Definitions- och värdemängd

• • VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 (5,6) X = 5 Y = 6 3 (2,3) x 2 Värdeaxel • 3 (2,3) Definitionsaxel x 2 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6

Definitions- och värdemängd Y = värdeaxel X = definitionsaxel

LINJERS LUTNING • Linjens lutning = (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

Lägga plattor runt rabatter

Lägga plattor runt rabatter

1.3 Räta linjens ekvation

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad X Y = 5X + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 Y = 5x + 3

Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

m = var linjen skär y-axeln RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

LINJEN y = 2x + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?

VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2 Vilket sätt att skriva är bäst?

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

VAD HETER DENNA LINJE? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! (Tycker Dennis) •

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Parallella linjer har ingen skärningspunkt

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Linjär utveckling… 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 x y = 5x + 3

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER

ATT INVERTERA ETT BRÅK

ATT INVERTERA ETT HELTAL

INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

VAD HETER LINJEN?

VAD HETER LINJEN?

VAD HETER LINJEN?

LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2 Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

VAD HETER DENNA LINJE? ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA? •

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning

PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

VINKELRÄTA LINJER

VINKELRÄTA LINJER

God studieteknik?

1.4 Linjära ekvationssystem • Vad menas med en lösning?

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Uppgift Vad heter linjerna? Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM •

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

VAD HETER DENNA LINJE? •

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Varför? Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Ett ekvationssystem som består av 2 st. parallella linjer saknar lösning Varför?

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

TRE LÖSNINGSMETODER (AV EKVATIONSSYSTEM) GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN

GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:

SUBSTITUTIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)

ADDITIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:

ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3] Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5

LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5

UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5

LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1