Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Sällsamma attraktorer - Strange Attrators Hans Thunberg, KTH Matematik Matematiskt Forum 4 feb 2010.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Sällsamma attraktorer - Strange Attrators Hans Thunberg, KTH Matematik Matematiskt Forum 4 feb 2010."— Presentationens avskrift:

1 Sällsamma attraktorer - Strange Attrators Hans Thunberg, KTH Matematik Matematiskt Forum 4 feb 2010

2 ρ=28, σ = 10, β = 8/3 Lorenz-attraktornHénon-attraktorn Kvadratiska familjen X n+1 = k x n (1-x n ) 01 Eng Wikipedia

3 Iterationer – Diskreta dynamiska system f x0x0 x 1 = f (x 0 ) x1x1 x 2 = f (x 1 ) x0x0 x 1 = f (x 0 ) x 2 = f (x 1 )=f ( f ( x 0 ) ) x3x3 …… Vi skriver också f 2 (x) = f ( f ( x ) ) och f n (x) = f ( f n-1 ( x ) )

4 Attraktorer A  X, A kompakt, är en attraktor till f : X  X om f (A) = A  omgivning B till A sådan att f n (x)  A, n  ∞, för alla x i B Ingen äkta delmängd till A har dessa egenskaper. A är en sällsam attraktor om A dessutom o är ”topologiskt/geometriskt komplicerad” o stöder kaotisk dynamik, t ex |x n - y n | ~ e n |x 0 – y 0 | eller   >0 s a  x 0, y 0  N s a |x N - y N | > 

5 Kvadratiska familjen f (x) = k x (1-x) f (x) = 1.5 x (1-x) x = 1/3 är en fixpunkt, f(1/3) = 1/3 och den är attraherande (stabil) x n → 1/3 när n → ∞, för nästan alla startvärden x 0

6 f (x) = 3.4 x (1-x) har en periodisk bana av längd 2 (2-cykel) p ≈ 0.45 och q ≈ 0.84 f(p) = q och f(q) = p dvs f(f(p))=p och f(f(q))=q som är attraktiv (stabil): Nästan alla startvärden x 0 närmar sig detta periodiskt förlopp x 0 → x 1 → ……… → ≈ 0.45 → ≈ 0.84 → ≈ 0.45 → …

7 f (x) = k x (1-x) Periodfördubblingar till en Cantor-attraktor k = 3.50, attraktiv 4 -cykel k = 3.55, attraktiv 8 -cykel  växand följd { k i } ∞ i=0 k i < 3.6 s a f (x) = k i x (1-x) har attraktiv 2 i -cykel k i → k ∞ där f (x) = k ∞ x (1-x) har en attraktor som är en Cantormängd Dynamiken ej kaotisk

8 f (x) = k x (1-x) har kaotiska intervallattraktorer Inga attraherande periodiska banor Typiska banor fyller ut hela intervallet (0,1) Små skillnader i startvärden växer exponentiellt med antal iterationer Sats: (Benedicks, Carleson ) För ett positivt mått av parametervärden k har f (x) = k x (1-x) en kaotisk intervallattraktor. k = 4 För k = 4 kan detta visas med ett koordinatbyte som ger styckvis linjära funktion med lutning ± 2

9 Bifurkationsdiagram för f (x) = k x (1-x) k Eng Wikipedia

10 Hénonavbildningen a = 1.4, b = 0.3 Eng Wikipedia H a,b :

11 b = 0.3 Eng Wikipedia

12 Exempel på Hénondynamik /e/Henon/ a = 1.25, 1.26, 1.27 … 1.3, 1.307, 1.4 b = 0.3

13 Hénonavbildningen SATS: (Benedicks, Carleson) För alla tilltäckligt små värden på b > 0 finns det en mängd E = E(b) av positivt Lebesgue-mått sådan att för alla a i E gäller att H a,b har en sällsam attraktor A. H a,b :

14 Autonoma system av 1:a ordningens ODE (flöden) – Dynamiska system i kontinuerlig tid Lösningskurvor : genom initialvärde

15 Attraktorer En kompakt A delmängd är en attraktor till  (t,w)  (t, A) = A för alla t >0.  omgivning B till A sådan att  (t,w)  A, t  ∞, för alla w i B Ingen äkta delmängd till A har dessa egenskaper. A är en sällsam attraktor om A dessutom o är ”topologiskt/geometriskt komplicerad” o stöder kaotisk dynamik,

16 Attraktorer till flöden Stationära punkterGränscykler

17 Lorenz-systemet Edward Lorenz (1963): - Förenklad modell för atmosfärsdynamik - Numeriska studier pekar på ickeperidoiska attraktor. Lösningar tycks ha känsligt bereonde på intialvärde. ρ=28, σ = 10, β = 8/3

18 Lorenzattraktorn

19 Animering av Lorenzattraktorn tokyo.ac.jp/~hideyuki/java/Attract.html

20 Lorenzattraktorn är sällsam SATS: (Tucker 1998) För en öppen mängd av parametervärden, innehållande de klassiska värdena ρ=28, σ = 10, β = 8/3, har Lorenz systemet en sällsam attraktor A, dvs (i) A är invariant (ii) A attraherar alla lösningar med intialvärden i en öppen omgivning till A (iii) A har fraktal struktur (iv) Dynamiken är kaotisk (v) Lösningskurvors långtidsfördelning beskrivs av ett gemensamt sannolikhetesmått


Ladda ner ppt "Sällsamma attraktorer - Strange Attrators Hans Thunberg, KTH Matematik Matematiskt Forum 4 feb 2010."

Liknande presentationer


Google-annonser