Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

1. 2 Modeller läsanvisning Enligt kurs-PM finns material i Grimvall: Kapitel 5 – introducerar exponentiell tillväxt 9 – Exempel på matematiska- och ingenjörsformler.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "1. 2 Modeller läsanvisning Enligt kurs-PM finns material i Grimvall: Kapitel 5 – introducerar exponentiell tillväxt 9 – Exempel på matematiska- och ingenjörsformler."— Presentationens avskrift:

1 1

2 2 Modeller läsanvisning Enligt kurs-PM finns material i Grimvall: Kapitel 5 – introducerar exponentiell tillväxt 9 – Exempel på matematiska- och ingenjörsformler Läsanvisning 9.1-3, 7, 9 10 – Anpassning av mätdata till linje eller ekvation som beskriver modell, mer på nästa föreläsning ej 10.5

3 3 Frågor från förra gången ?

4 4 Inledning matematiska modeller Kan användas för att analysera mätningar – ofta en typ av kurvanpassning - innebär ofta en förenkling Kan användas för att förutsäga resultatet Kan innehålla tekniska eller fysikaliska resonemang eller vara helt empiriska Empirisk = är erfarenheter som inte grundar sig på resonemang eller liknande, utan på verkliga erfarenheter, undersökningar och experiment.

5 5 Inledning matematiska modeller Mätdata/resultat Modell förenkling Förutsägelser Matematiska slutsatser förklaring/uttolkning analys verifikation

6 6 Inledning matematiska modeller No exponential is forever... but we can delay forever Gordon Moore, Intels grundare ftp://download.intel.com/research/silicon/Gordon_Moore_ISSCC_ pdf

7 7 Lagar och formler Vi utgår ifrån matematiska samband av typen A = BC och diskturerar om de är approximativa eller helt ’sanna’ Visar med exempel att det finns många andra situationer mellan ytterligheterna

8 8 Lagar och formler Fysikaliska teorier Definitioner Abstrakta begrepp Naturlag Approximation inom gränser Serieutveckling Approximation

9 9 Lagar och formler

10 10 Lagar och formler

11 11 Lagar och formler

12 12 Lagar och formler Hookes lag är god approximation inom vissa gränser

13 13 Lagar och formler

14 14 Lagar och formler

15 15 Lagar och formler

16 16 Modeller och problemslösningsmetodik Har två viktiga extremfall Modeller där: –Den fysikaliska principen bakom ett fenomen är viktigast –Där vi söker ett numeriskt svar med rimlig noggrannhet

17 17 Volym-Area förhållande Exempel på kroppstemperatur/avkylning kan diskuteras genom undersök volym- area förhållande för en sfär Area=? Volymen=?

18 18 Volym-Area förhållande

19 19 Robusta modeller Börjar med en definition: ”En modell vars slutsatser inte beror känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust” Illustreras med en modell för golfklubba och golfboll Ska undersöka dessa ekvationer… Hur? Prova värden eller göra grafer i MATLAB!

20 20 Robusta modeller

21 21 Robusta modeller Den inre resistansen hos ett batteri kan mätas upp med hjälp av en voltmeter och en känd yttre resistans : Där är batteriets polspänning uppmätt utan yttre resistansen och där är det uppmätta spänningsvärdet över en given yttre resistans. Undersök om detta uttryck är robust. Enligt Grimvall är detta definierat som att: ”En modell vars slutsatser inte beror känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust” Polspänningen har bestämts till 1,608 V. Använd värden från Tabell 2 för att göra uträkningar som motiverar ditt svar!

22 22 Robusta modeller Yttre resistans () Uppmätt spänning (V) 98,21,597 98,21,598 98,21,599 21,61,573 21,61,577 21,61,568 u01.608medelvärde variation i uv (%)ri=ry*(uo/uv)-1)medelvärde variation i ri (%) Tabell 2. Uppmätta spänningar för olika yttreresistanser Genom beräkningen av medelvärden och variation kring dessa för de två olika yttre motstånden konstaterar man att modellekvationen inte är robust, se tabellen nedan. En variation på mindre än 0,1% i den uppmätta spänningen för motståndet 98,2  motsvaras av en variation på så mycket som 10% i den inre resistansen om man bestämmer den på detta sätt. För det andra motståndet är modellekvationen mer robust ty där motsvaras ungefär samma variation i Ri (12-13 %) av en större variation i UV (0,2 %).

23 23 Moores lag – exponentiell tillväxt (Grimvall 10.4)

24 24 Moores lag – exponentiell tillväxt

25 25 Tillväxt i population 2 generationer och båda har drabbats av samma virus

26 26 Tillväxt i population Frågeställning, ökning, minskning eller jämnvikt? I fallet med konstant befolkning är modellen enkel - 2 barn per kvinna krävs i ett I-land För virus är både sjukdomen och antalet bärare intressanta för att spridning ska kunna ske

27 27 Modeller Modeller som innehåller ett mått på förändring kallas dynamiska Matematiskt skrivs de som differensekvationer eller system av derivator Modeller kan innehålla bara kända parametrar som inte ändrar sig Eller en viss slumpmässighet, kallas ofta stokastiska processer

28 28 Ytterligheterna Välkända lagar och konstanter tex elektonernas rörelse kring atomkärnan eller planeternas bana kring solen Kaotiska icke-linjära dynamiska system tex väderrapporter och klimatmodeller En liten slumpmässig förändring ger upphov till en kraftig reaktion

29 29 Den amerikanske meteorologen Edward Lorenz är en av kaosteorins pionjärer. Han har myntat begreppet "fjärilseffekten". En fjärils vingslag i Brasilien kan vålla en tornado i Texas, sa Edward Lorenz i en föreläsning en gång. Formuleringen har blivit berömd. Den mikroskopiska vibration i luften som fjärilens vingslag vållar förstärks av de kaotiska krafterna, och kan få drastiska följder på någon helt annan plats på jorden. Förloppet beror inte på några mystiska fenomen. Det följer strikt fysikens kända lagar. Men vi kan inte hålla reda på alla diminutiva dallringar i luften. Världen är full av fjärilar. Därför är vädret oförutsägbart. Exempel på kaosteori

30 30 Sammanfattning Kap 8 – se bilden Kap 9 – begreppet robust modell Ur kapitel 10 - Tillväxtexempel av typen Moore’s lag

31 31 Nästa föreläsning F11 Torsdag 29/9 Problemlösningar med datorer (läs kapitel 1 i MATLAB boken som anknyter till dagens material! Sedan fortsätter vi med kurvanpassning enligt MATLAB kap 8.1-3, detta motsvarar Grimvalls kapitel men med en mer praktisk approach

32 32 Peer-instruction 1.Beskriv de fyra kurvorna, vad finns på axlarna vad händer vid variationer 2.Vad kan detta motsvara i verkligheten?

33 33 Diskussionuppgift på KTH Social Efter denna vecka kommer de flesta USB loggers att vara lediga. Ge förslag på vad mer man skulle kunna logga över en längre tid.

34 34 Räntetillväxt Växer snabbt är exempel på exponentiell tillväxt Inte så intressant rent matematiskt eller för en ingenjör Exempel en skuld som växer med räntan 10% = 1.1 x för varje tidsintervall

35 35 En enkel ekvation Kan skriva upp ekvationen Om räntan r=1.1 så Detta betyder obgränsad tillväxt Finns andra fall för SAMMA ekvation

36 36 Räntetillväxt Viktigt fall när tillväxt och avtagande konkurerrar! Ändra ekvationen lite genom att lägga till ‘b’ som kan vara ett positivt eller negativt tal:

37 37 Matlab kod a0=0.1; antal=50 a(1)=a0; r=0.5; b=0.1; for n=1:1:antal a(n+1)=a(n)*r+b; end

38 38 Resultat Exemplet visar att man når jämnvikt oberoende av var man startar Varför? |r| < 1

39 39 Räntetillväxt Vad händer då för |r| >1 Bara meningsfullt för b negativt annars tillväxt Tag r=1.01 och b=-1000 Prova olika startvärden 90000, ,

40 40 Resultat Avbetalningen måste vara tillräckligt stor för en viss ränta och storlek på skulden Mycket KÄNSLIGT för var man startar!

41 41 Sammanfattning r=1Värdet ändras inte bara en linje |r|<1Stabil jämvikt |r|>1Instabil jämvikt

42 42 Exempel på tillväxt

43 43 Exempel på tillväxt


Ladda ner ppt "1. 2 Modeller läsanvisning Enligt kurs-PM finns material i Grimvall: Kapitel 5 – introducerar exponentiell tillväxt 9 – Exempel på matematiska- och ingenjörsformler."

Liknande presentationer


Google-annonser