Likformig cirkulär rörelse Cirkulär centralrörelse med konstant fart är rörelsen för ett objekt som rör sig med konstant fart i en cirkulär bana. r v Simulering

Några definitioner r v Tiden för en cykel: perioden T Likformig cirkulär rörelse Några definitioner r v Tiden för en cykel: perioden T Antal cykler per tidsenhet: frekvensen f = 1/T OBS! v ändras i rörelsen, men v = | v | är konstant. v = 2  r / T ( Omkretsen = 2  r ) v ändras  acceleration

Centripetalacceleration Likformig cirkulär rörelse Centripetalacceleration Storlek: Centripetalaccelerationen för ett objekt som rör sig med farten v i en cirkulärbana med radie r har storleken ac, där ac = v2/r Riktning: Centripetalaccelerationen ändrar kontinuerligt riktning under rörelsen och pekar alltid mot cirkelns medelpunkt.

Centripetalkraft För att ett objekt ska kunna röra sig Likformig cirkulär rörelse Centripetalkraft För att ett objekt ska kunna röra sig i en cirkulär bana så måste det påverkas av en kraft riktad mot cirkelns medelpunkt. Denna kraft kallas centripetalkraft. Storleken av centripetalkraften för ett objekt med massa m ges enligt Newton’s 2:a lag av: Fc = m ac Fc v

Centripetalkraft Exempel: Likformig cirkulär rörelse Centripetalkraft Exempel: Jämför de maximala farter som en bil kan ha genom en kurva med radie r = 100 m i torrt väglag (s = 0.9) respektive i vått väglag (s = 0.1) . Lösning: Utnyttja fsmax = Fc. Se tavlan.

Satelliter i cirkulära banor Likformig cirkulär rörelse Satelliter i cirkulära banor En satellit i bana runt Jorden hålls kvar i sin bana genom Jordens dragningskraft (gravitationskraften). För en cirkulär bana gäller då Fc = FGrav mv2/r = G m mJ / r2 Farten i denna cirkulära bana måste då vara v = [ G mJ / r ]1/2 Notera att farten ej beror på satellitens massa

Arbete och energi

Energibegreppet i fysiken Arbete och energi Energibegreppet i fysiken Energi kan varken skapas eller förstöras, utan kan endast omvandlas från en form till en annan.

Arbete F F s F konstant Arbete (work): A = F s Arbete och energi Arbete F F s F konstant F parallell med förflyttningen Arbete (work): A = F s Exempel: Arbete i olika situationer

Arbete Arbete utfört av en konstant kraft Arbete och energi Arbete Arbete utfört av en konstant kraft Det arbete som utförs på ett objekt av en konstant kraft F är A = [ F cos  ] s där F är kraftens storlek, s storleken av förflyttningen och  är vinkeln mellan kraften och förflyttningen. SI-enhet: N m = J (Joule)

Definition av kinetisk energi Arbete och energi Definition av kinetisk energi Den kinetiska (rörelse) energin för ett objekt med massa m och fart v, ges av Ek = mv2 / 2 SI-enhet: J (Joule) Exempel: Arbete och kinetisk energi i olika situationer

Arbete - energi sats (kinetisk energi) Arbete och energi Arbete - energi sats (kinetisk energi) När en extern nettokraft (summa av alla externa krafter) utför ett arbete på ett objekt, förändras dess kinetiska energi från sitt initialvärde Ek0 till ett finalvärde Ekf, där skillnaden är lika med det utförda arbetet, A = Ekf - Ek0 = mvf2 / 2 - mv02 / 2 Exempel: Satellit i cirkulär och elliptisk bana.

Arbete utfört av tyngdkraften Arbete och energi Arbete utfört av tyngdkraften hf mg A = - mg s = - mg (hf - h0) = mg h0 - mg hf s h0 Man kan visa att: A= mgh0 - mghf är oberoende av längs vilken väg förflyttningen sker! mg

Potentiell energi (gravitation) Arbete och energi Potentiell energi (gravitation) Ep=mgh A = mgh0 - mghf oberoende av förflyttningens väg  Definiera en potentiell energi Ep = m g h ( SI-enhet: J ) h är höjden över en godtycklig nollnivå. h mg

Konservativa krafter Det finns andra krafter än gravitationen Arbete och energi Konservativa krafter Det finns andra krafter än gravitationen för vilka en potentiell energi kan definieras. Sådana krafter kallas konservativa. De kan formellt definieras på olika sätt. 1) En kraft är konservativ om arbetet som den utför på ett objekt är oberoende vägen mellan start och slutpunkt. 2) En kraft är konservativ om nettoarbetet den utför, när den förflyttar ett objekt längs en sluten bana, är noll

Icke-konservativa krafter Arbete och energi Icke-konservativa krafter Krafter som ej är konservativa kallas icke - konservativa. Exempel på konservativa krafter Gravitation. Kraft från elastiskt fjäder Elektrisk kraft. Exempel på icke-konservativa krafter Friktionskrafter. Luftmotstånd Normalkraft.

Arbete - energi sats Bevarande av total mekanisk energi: Arbete och energi Arbete - energi sats Bevarande av total mekanisk energi: Den totala mekaniska energin, Etot = Ek + Ep, för ett objekt är konstant under objektets förflyttning förutsatt att det netto arbete som utförs av icke-konservativa krafter är noll. Om det finns icke-konservativa krafter så gäller Anc = Etot,f - Etot,0

Effekt Medeleffekt är den mängd arbete som utförs per tidsenhet Arbete och energi Effekt Medeleffekt är den mängd arbete som utförs per tidsenhet Pm = A/t SI-enhet: J/s = W (watt) ( A / t = F s / t = F vm ) Pm = F vm

Impuls och rörelsemängd Det finns många situationer då kraften som påverkar ett objekt inte är konstant, utan varierar i tiden. Kollision F t t0 tf Fm t Ofta verkar kraften under ett kort tidsögonblick, men kan under detta ögonblick bli mycket stor.

Impuls För att beskriva hur tidsvarierande krafter Impuls och rörelsemängd Impuls För att beskriva hur tidsvarierande krafter påverkar rörelsen av ett objekt introducerar vi begreppet impuls. Impulsen av en kraft är produkten av medelkraften och det tidsintervall under vilket kraften verkar: I = Fm  t Impulsen är en vektorstorhet och har samma riktning som medelkraften. SI-enhet: Ns (Newton sekund) F t t0 tf Fm t

Rörelsemängd Objekts hastighet efter impulspåverkan beror på: Impuls och rörelsemängd Rörelsemängd Objekts hastighet efter impulspåverkan beror på: impulsens storlek objektets massa. Definition av rörelsemängd: Ett objekts rörelsemängden, p, är produkten av objektets massa, m, och dess hastighet v, p = m v Rörelsemängd är en vektorkvantitet parallell med hastigheten SI-enhet: kg · m / s

Impuls - rörelsemängd Impuls - rörelsemängdssats: Impuls och rörelsemängd Impuls - rörelsemängd Impuls - rörelsemängdssats: När en nettokraft påverkar ett objekt, så är nettokraftens impuls lika med objektets rörelsemängdsförändring. Fm ·  t = m vf - m v0 Impuls Slutlig rörelse- mängd Initial rörelse- mängd

Bevarande av rörelsemängd Impuls och rörelsemängd Bevarande av rörelsemängd Ett system för vilket vektorsumman av alla externa krafter är noll kallas för isolerat. Bevarande av rörelsemängd I ett isolerat system bevaras totala rörelsemängden. Exempel på rörelsemängdens bevarande.

Elastisk kollision i en dimension Impuls och rörelsemängd Elastisk kollision i en dimension En kollision mellan två objekt kallas elastisk om totala kinetiska energin bevaras i kollisionen (dvs är samma före och efter kollisionen). Exempel: Se tavlan Se datorsimulering

Inelastisk kollision i en dimension Impuls och rörelsemängd Inelastisk kollision i en dimension Om totala kinetiska energin inte bevaras i en kollision mellan två objekt så kallas kollisionen inelastisk. (Dvs en del av den kinetiska energin övergår till någon annan energiform, tex värme, potentiell energi). Figure 7.14 Datorsimulering

Masscentrum Masscentrum för ett system är en punkt som representerar Impuls och rörelsemängd Masscentrum Masscentrum för ett system är en punkt som representerar medelläget för systemets totala massa. xcm = [ m1 x1 + m2 x2 ] / [ m1 + m2 ] xcm  x1 x2 Exempel

Rotationskinematik Rotation kring axel med varierande fart Till skillnad från likformig cirkulär rörelse, där ett objekt rör sig med konstant fart i en cirkulär bana, behandlar detta avsnitt situationer där också farten kan variera. r v(t)

Vinkelfrekvens Medelvinkelfrekvens (angular velocity) Rotationskinematik Vinkelfrekvens Medelvinkelfrekvens (angular velocity) m = [  - 0 ] / [t - t0 ] =  / t ( ska vara i radianer) SI-Enhet: s-1 (men skrivs ofta rad/s)

Vinkelacceleration Medelvinkelacceleration Rotationskinematik Vinkelacceleration Medelvinkelacceleration m = [ - 0 ] / [t - t0 ] =   / t SI-Enhet: s-2 (men skrivs ofta rad/s2)

Samband mellan vinkelvariabler och tangentvariabler Rotationskinematik Samband mellan vinkelvariabler och tangentvariabler  r s  aT vT  = s / r vT = r ∙  aT = r ∙  ac = r ∙ 2 Obs! I ovan uttryck måste alla vinklar ges i radianer. Figure 8.12 Figure 8.15

Rotationsdynamik Krafter som verkar på objekt med utsträckning kan medföra en förändring av rörelsetillståndet även om nettokraften Fnetto =  F = 0. En verkande krafts förmåga att vrida ett objekt beror på Kraftens storlek. Avståndet mellan angreppspunkt och vridningsaxel. F F F

Några definitioner Verkningslinje (line of action): Rotationsdynamik Några definitioner Verkningslinje (line of action): En linje som är parallell med den verkande kraften och går igenom angreppspunkten. F F F Hävstångsarm (momentarm) (lever arm): Minsta avståndet, l, mellan verkningslinjen och rotationsaxeln. F l F l F l Stel kropp (rigid body): Ett (eller flera) objekt med utsträckning som ej är deformerbart.

Krafter och vridmoment Rotationsdynamik Krafter och vridmoment Definition av vridmoment (kraftmoment):  = F l F = verkande kraft l = hävstångsarm (momentarm) l ska alltid vara vinkelrät mot F Vridmomentet är positivt om kraften vill producera en vridning moturs, annars är vridmomentet negativt. SI-enhet: Nm F l Figure 9.3

Jämvikt Jämvikt: En stel kropp sägs vara i jämvikt om den ej har någon Rotationsdynamik Jämvikt Jämvikt: En stel kropp sägs vara i jämvikt om den ej har någon translationsacceleration och ej någon vinkelacceleration. I jämvikt gäller att Fx = 0 Fy = 0  = 0 Exempel.

Tyngdpunkt Tyngdpunkten för en stel kropp är den punkt i vilken Rotationsdynamik Tyngdpunkt Tyngdpunkten för en stel kropp är den punkt i vilken tyngdkraften kan anses verka när tyngdkraftens vridmoment beräknas. xtp = [ W1 x1 + W2 x2 ] / [ W1 + W2 ] Figure 9.11 Figure 9.13 Simulering av ett jämviktsproblem

Fluider Fluid är ett gemensamt namn på material som kan flöda, dvs gaser och vätskor.

Fluider Tryck Tryck: För en kraft, F, som verkar vinkelrätt mot en yta så definieras trycket, p, som kraftens storlek, F, dividerat med ytans area, A, p = F / A SI-enhet: N/m2 = Pa (pascal) Andra vanliga enheter: bar = 105 Pa; atm = 1,013·105 Pa; Torr Obs! Trycket har ingen riktning -- skalär storhet. A F

Tryck Kraften som genereras av trycket i en fluid (gas eller vätska) Fluider Tryck Kraften som genereras av trycket i en fluid (gas eller vätska) är alltid vinkelrät mot den yta som fluiden verkar på. (I en statisk fluid finns inga krafter parallellt med ytan). F = p A

Tryckets djupberoende i en statisk fluid Fluider Tryckets djupberoende i en statisk fluid p2 = p1 +  g h Figure 11.7 I detta uttryck förutsätts att trycket p2 mäts i en punkt som befinner sig sträckan h under punkten där p1 mäts. Trycket vid ett givet djup h genereras av tyngden av den ovanliggande fluidmängden.

Tryckmätare - barometrar Kvicksilverbarometer Fluider Tryckmätare - barometrar Kvicksilverbarometer Vacuum p1 0 h Atmosfärstryck p2 p2 = p1 +  g h   g h p2 = 1,013·105 Pa, Hg = 13,6 ·103 ,  h  0,76 mm.

Pascals princip F Trycket i en innesluten fluid kan ökas Fluider Pascals princip F Trycket i en innesluten fluid kan ökas genom att påverka den med en extern kraft. Pascals princip: Varje förändring i trycket på en fullständigt innelsuten fluid överförs öförändrat till varje del av fluiden och de omgivande väggarna. Exempel billyft: F2 = F1 [ A2 / A1 ] Figure 11.16

Archimedes princip Ett objekt som sänks ned i en fluid utsätts Fluider Archimedes princip Ett objekt som sänks ned i en fluid utsätts för en flytkraft (buoyant force). Flytkraften uppkommer på grund av att trycket i fluiden varierar med djupet. Figure 11.18

Archimedes princip Archimedes princip: Fluider Archimedes princip Archimedes princip: Varje fluid utövar en flytkraft, FB , på ett objekt som är helt eller delvis nedsänkt i fluiden. Storleken av flytkraften är lika med tyngden av den undanträngda fluidmängden: FB = Wfluid Figure 11.19 Tillämpning: Fluidens tyngd, ej objektets Figure 11.22