Föreläsning 16 Logik med tillämpningar

Innehåll u Information kring kursvärdering och tentagenomgång u Genomgång av övningstenta 2

Kursvärdering och tentagenomgång u Kursvärdering öppnas torsdag 21/3 –Sammanfattning på webben u Lösningsförslag på webben u Tentamensresultat via mail u Tentagenomgång –ska vi ha det? –när? (Tis 2/4 enda vettiga alternativet…)

Övningstentan u Gavs av mig – omtenta på DV-prog. u Täcker samma material som kommande tentamen. u Maxpoäng 40p (3, 4, 5 på 20, 26 respektive 32p) u Är en ”normalsvår” tenta.

Uppgift 1 u Redovisa stegen i algoritmen inte bara svaret. u Förklara vad du gör i varje steg med några ord. –Kan dock göra flera likadana omskrivningar i varje steg. Exempelvis flytta in alla negationer på en gång. u Visa tydligt vad i ditt svar som är slutsatsen. –Dvs vilken formel du anser vara ditt svar –(Läs noga är det PCNF eller klausulmängd som efterfrågas?) u Använd gärna olika parenteser för att visa vad som hör ihop med vad. {[()]} u Svar: {p(x 1 )   q(x 1,f(x 1 ))  q(x 1, g(x 1 )), p(x 2 )   q(x 2,f(x 2 ))  r(g(x 2 ), z 2 )}

Döp om variabler  x(p(x)  {  y q(x, y)   v[q(x, v)   z r(v, z)]}) Ta bort konnektiv utom ,  och   x(p(x)  {  y q(x, y)   v[q(x, v)   z r(v, z)]}) Flytta in negationer  x(p(x)  {  y  q(x, y)   v[q(x, v)   z r(v, z)]}) Flytta ut kvantifierare  x  y  v  z (p(x)  {  q(x, y)  [q(x, v)  r(v, z)]}) Gör om matrisen till CNF  x  y  v  z (p(x)  {[  q(x, y)  q(x, v)]  [  q(x, y)  r(v, z)]})  x  y  v  z ([p(x)   q(x, y)  q(x, v)]  [p(x)   q(x, y)  r(v, z)]) Skolemisera  x  v  z ([p(x)   q(x, f(x))  q(x, v)]  [p(x)   q(x, f(x))  r(v, z)])  x  z((p(x)   q(x,f(x))  q(x, g(x)))  (p(x)   q(x,f(x))  r(g(x), z))) Mängden: {p(x 1 )   q(x 1,f(x 1 ))  q(x 1, g(x 1 )), p(x 2 )   q(x 2,f(x 2 ))  r(g(x 2 ), z 2 )}

Uppgift 2 u Måste förklara hur och varför roten i tablån ser ut som den gör. Varför negera? u Måste dra en slutsats från trädet, kan inte bara visa trädet. Det är inte ett svar. u Om tablån för negationen av formeln är öppen måste en ny tablå göras. u Inga förenklingar av formeln får göras varken före, under eller efter man applicerar algoritmen. u Svar: Formeln valid

Formeln är valid eftersom negationen är en motsägelse.

Uppgift 3 u Var noga att kolla vad ni ska göra och att svara på alla deluppgifter. E = p(x, y)  q(f(x), z)  r(v, u)  = { x  f(y), y  f(a), z  u}  = { y  g(a), u  z, v  f(f(a))} u E  = p(f(y),f(a))  q(f(f(y)), u)  r(v,u) u E  = p(x, g(a))  q(f(x), z)  r(f(f(a)), z) u E  = p(f(g(a)),f(a))  q(f(f(g(a))), z)  r(f(f(a)),z) u  = { x  f(g(a)), y  f(a), u  z, v  f(f(a))}

Uppgift 4 u För att veta om den fungerar så gör man en sanningstabell för uttrycket u Uttrycket blev inte lika som output. Alltså fungerar inte kretskortet som etiketten säger. För att få en formel kan man ta de rader där output är T.

u Vi får då: (p  q  r)  (p   q  r)  (  p  q  r) u den kan förenklas (alla formler från och med ovanstående är OK som svar, man behöver inte förenkla…) u (p  r)  (q   q)  (  p  q  r) (p  r)  (  p  q  r) (p  (  p  q))  r (p   p)  (p  q)  r (p  q)  r

Uppgift 5a) M = 2M = 3N = 3; N = 6; N = 9; no N = 2; N = 3;

5b) SVAREN blir N = 3; no

Uppgift 6 u Skriv vad du tänker, det kan i princip aldrig bli för mycket text… Antag att U är en mängd satslogiska formler, dvs U = {A 1, A 2,..., A n }, antag dessutom att A och B också är satslogiska formler. Visa att om U  {A} |= B så gäller att U |= A  B.

Svar Om U  {A} |= B så innebär det att för alla tolkningar v så att v(U  {A} ) = T så är v(B) = T Om v(U  {A} ) = T så är v(U) = T och v(A) = T. Enda tillfället då U |= A  B inte gäller är om det finns en tolkning v så att v(U) =v(A) =T och v(B) = F. Men om v(U) =v(A) =T så är v(U  {A} ) = T och då vet vi att v(B) = T. Alltså gäller påståendet.

Uppgift 7 u Kom ihåg att om det står omm måste man bevisa ”åt båda hållen”. u Svar –Antag att S' satisfierbar då finns en modell v så att v(C) = T för alla klausuler C i S'. Lägg till i tolkningen att v(l) = T. Då blir v(C) = T för alla klausuler C i mängden S- S'. –Om S satisfierbar så är S' satisfierbar eftersom S' är en delmängd av S.

Uppgift 8 Ett exempel på lösning är: % everynth(N, L1, L2) % Tar var N:te element ur listan L1 % och returnerar det i L2... everynth(_, [], []). everynth(N, Xs, Ys) :- everynth(N, 1, Xs, Ys).

everynth(_, _, [], []). everynth(N, M, [X | Xs], [X | Ys]):- A is M mod N, A == 0, M1 is M + 1, everynth(N, M1, Xs, Ys). everynth(N, M, [X |Xs], Ys) :- A is M mod N, A \== 0, M1 is M + 1, everynth(N, M1, Xs, Ys).

Vilka lösningar ger ditt program på frågan everynth(3, X, [1, 2]) ? X = [_A,_B,1,_C,_D,2] ? ; X = [_A,_B,1,_C,_D,2,_E] ? ; X = [_A,_B,1,_C,_D,2,_E,_F] ? ; No Där _A till _F är namn på anonyma variabler

Uppgift 9 u Läs uppgiften noga, kan finnas flera frågor i en fråga. u Kortfattade svar: a) En algoritm är en beslutsprocedur om den terminerar och ger svaret 'yes' om formeln A tillhör U och 'no' om den ej tillhör U. b) Negera formeln och om den är osatisfierbar så är den falsk i alla tolkningar. Om v(  A) = F i alla tolkningar så är v(A) = T i alla tolkningar dvs A är valid.

Uppgift 9 c) Om X förekommer flera gånger i listan kommer programmet att lyckas flera gånger. Detta kan undvikas antingen genom att skriva om programmet member(X, [X |Xs]). member(X, [Y|Xs]) :- X \== Y, member(X, Xs). eller genom att lägga till ett rött cut member(X, [X |Xs]):- !. member(X, [Y|Xs]) :- member(X, Xs). Det går att argumentera för båda varianterna. Huvudargument alt.1 är att det fortfarande är ett logiskt korrekt program. Den andra varianten är mer effektiv med avseende på exekveringshastigheten.

Uppgift 10 u Det finns tre typer av studenter: vanliga, exjobbare och forskarstudenter.  x(fostud (x)  vanlig(x)  exjobbare(x)) u Studenter är inte forskarstudenter om det finns studenter som läst mer än dem.  x  y(läst_mer(x, y)   fostud (y)) u De studenter som läst mer än andra studenter är inte vanliga studenter.  x  y(läst_mer(x, y)   vanlig(x))

Uppgift 10 u Studenter är inte exjobbare om det finns andra studenter som läst mer och som är exjobbare.  x  y(läst_mer(x, y)  exjobbare(x)   exjobbare(y)) u Jane har läst mer än Jill som i sin tur har läst mer än Mary läst_mer(Jane,Jill) läst_mer(Jill,Mary) u Sedan vet vi också att egenskapen ”läst mer” är transitiv, dvs att följande förhållande gäller:  x  y  z(läst_mer(x,y)  läst_mer(y,z)  läst_mer(x,z))

b) 1.  läst_mer(x1,y1)   fostud (y1) 2.  läst_mer(x2,y2)   vanlig(x2) 3. fostud (x3)  vanlig(x3)  exjobbare(x3) 4.  läst_mer(x4,y4)   läst_mer(y4,z4)  läst_mer(x4,z4) 5.  läst_mer(x5,y5)   exjobbare(x5)   exjobbare(y5) 6. läst_mer(Jane,Jill) 7. läst_mer(Jill,Mary)

c) 8. exjobbare(Jane) 9.  läst_mer(Jane,y5)   exjobbare(y5){x5  Jane} 5 o  exjobbare(Jill){y5  Jill} 6 o fostud (Jill)  vanlig(Jill){x3  Jill} 3 o  läst_mer(x1,Jill)  vanlig(Jill) {y1  Jill} 1 o  läst_mer(x1,Jill)   läst_mer(Jill, y2){x2  Jill} 2 o  läst_mer(Jill, y2){x1  Jane} 6 o []{y2  Mary} 7 o 14