Övningsexempel till Kapitel 4 Ex 1: Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel med frekvens-funktion f(x) = c x (2 - x) om 0 < x < 2, (för övriga x-värden är f(x)=0). a) Bestäm konstanten c. b) Vad är P(1.5 < X < 3)? c) Vad är P( X  1.5)? d) Bestäm väntevärde och variansen till X. e) Hur ser fördelningsfunktionen ut?.

Ex 2: I en apparat finns det plats för fyra batterier Ex 2: I en apparat finns det plats för fyra batterier. Apparaten fungerar om minst två av batterier fungerar. Livslängden hos ett batteri kan ses som en kontinuerlig slumpvariabel med följande frekvensfunktion f(x) = (1/300) e-x/300 om x > 0 , (för övriga x-värden är f(x)=0). Om livslängderna på batterierna antas vara oberoende och om apparaten laddas med fyra nya batterier, vad är sannolikheten att den fungerar efter 310 timmar? Ex 3: Vid avrundning av tal kan man betrakta avrundnings-felet som en slumpvariabel X. Om vi får det korrekt av-rundade talet 2.5 så gäller det att ursprungstalet är 2.5 + X. Bestäm fördelningen för X?

Ex 4: Till en tunnelbanestation anländer tåg med tio minuters mellanrum. En person som inte har någon tidtabell anländer slumpmässigt till stationen. Låt X = den tid som person får vänta tills ett tåg anländer. a) Vilka värden kan X anta? b) Hur ser frekvensfunktionen för X ut? c) Bestäm sannolikheten att personen får vänta sju minuter eller mer. Ex 5: Tiden X i minuter att betjäna en kund i ett visst betjäningssystem antas vara exponentialfördelad med väntevärde fem kunder per minut. Bestäm a) P(3  X  5) b) P(3  X  7)

Ex 6: Antag att antalet samtal som inkommer till en telefonväxel är poissonfördelad med väntevärdet 20 kunder per timme. Vad är sannolikheten att tiden mellan två på varandra följande samtal är minst fem minuter. Ex 7: Antag att ett mätinstrument har ett mätfel X som är normalfördelad med  = 0 och  = 1. Bestäm a) P(X < 0) b) P(X  1.05) c) P(X > -1) d) P(-0.5  X  1) e) värdet a så att P(X > a) = 0.05

Ex 8: Konstgödsel förpackas maskinellt i säckar som rymmer cirka 50 kg Ex 8: Konstgödsel förpackas maskinellt i säckar som rymmer cirka 50 kg. Låt X vara vikten hos en slumpmässigt vald säck. Av erfarenhet vet man att X är normalfördelad med förväntad vikt 50 kg och en varians på 4 kg2. Bestäm a) sannolikheten att en slumpmässigt vald säck väger mer än 53 kg. b) sannolikheten att en slumpmässigt vald säck väger mellan 48 och 52 kg. c) värdet a så att sannolikheten att en slumpmässigt vald säck väger mindre än detta värde ej överstiger 0.025.

Facit: 1: a) 3/4 b) 5/32 c) 5/32 d) 1, 1/5 e) F(x) = (3x2 - x3)/4 om 0<x<2, = 0 om x<0, = 1 om x>2 2: 0.447 3: f(x) = 1 om -0.5 < x < 0.5 (= 0 annars) 4: a) [0, 10] b) f(x) = 1/10 om 0<x<10 c) 0.3 5: a) 0.181 b) 0.302 6: 0.189 7: a) 0.5 b) 0.8531 c) 0.8413 d) 0.5328 e) 1.645 8: a) 0.0668 b) 0.6826 c) 46.08