Diskreta slumpvariabler. Stokastiskvariabel En slumpvariabel (stokastisk variabel) är en Funktion eller regel som tilldelar ett tal till varje Utfall.

En presentation över ämnet: "Diskreta slumpvariabler. Stokastiskvariabel En slumpvariabel (stokastisk variabel) är en Funktion eller regel som tilldelar ett tal till varje Utfall."— Presentationens avskrift:

1 Diskreta slumpvariabler

2 Stokastiskvariabel En slumpvariabel (stokastisk variabel) är en Funktion eller regel som tilldelar ett tal till varje Utfall av ett experiment. Betecknas vanligtvis med en stor bokstav i slutet på arbetet. X, Y, Z – Ex 1) X = Antal prickar på en tärning. – Ex 2) Y = Antal rökare bland tre tillfrågade.

3 Stokastiskvariabel En stokastiskvariabel (S.v.) är diskret om den antar ett ändligt eller uppräknerligt antal värden Antal prickar Antal bilar Antal defekta enheter Antal rökare

4 Sannolikhetsfunktion Till varje möjligt värde på en diskret Slumpvariabel tilldelas en sannolikhet. P(X = x) = p(x), där X – experimentet och x – utfall Tillsammans bildar dessa sannolikheter den diskreta s.v. sannolikhetsfunktionen

5 Exempel Låt X vara antal tillverkade enheter per dag. P(X=4)=0.1 P(X=6)=0.3 P(X=8)=0.4 P(X=10)=0.2

6 Fördelningsfunktion F(x) = P(X ≤ x) kallas för s.v. fördelningsfunktion Forts. exempel F(1) = P(X ≤ 1) = 0 F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 4) = 0.1 F(5) = P(X ≤ 5) = P(X = 4) = 0.1 F(6) = P(X ≤ 6) = P(X = 4) + P(X = 6) = 0.1 + 0.3 = 0.4 F(8) = P(X ≤ 8) = P(X = 4) + P(X = 6) + P(X = 8) = 0.8 F(10) = P(X ≤ 10) = …= 1 F(100) = P(X ≤ 100) = … = 1

7 Mått Det finns två mått som sammanfattar en slumpvariabels egenskaper på ett bra sätt: Lägesmått - Väntevärde Spridningsmått – Varians/Standardavvikelse

8 Väntevärdet Väntevärdet anger det genomsnittliga värdet vid Ett obegränsat antal mätningar. Väntevärdet betecknas vanligtvis med E(X) eller µ

9 Väntevärde Väntevärdet för en diskretslumpvariabel X definieras som:

10 Exempel forts. X – Antal tillverkade enheter µ = E(X) = 4·0.1 + 6 ·0.3 + 8 ·0.4 + 10 ·0.2 = = 7.4

11 Varians/standardavvikelse Variansen anger det genomsnittliga kvadratiska avståndet till väntevärdet (µ ). Variansen betecknas med V(X) eller σ 2 Nackdel: Variansen tittar på de kvadratiska avstånden vilket resulterar i fel enhet. Använd därför standardavvikelsen = √variansen

12 Varians/standardavvikelse Variansen respektive standardavvikelsen för en diskret variabel definieras som

13 Exempel forts. σ 2 = (4 – 7.4) 2 ·0.1 + (6 – 7.4) 2 ·0.3 + (8 – 7.4) 2 ·0.4 + (10 – 7.4) 2 ·0.2 = 3.24 Alternativt: σ 2 = 4 2 ·0.1+ 6 2 ·0.3+ 8 2 ·0.4+ + 10 2 ·0.2 – 7.4 2 = 3.24 D.v.s. σ 2 = 3.24 och σ = √(3.24) = 1.8

14 Räkneregler. Viktigt! E(konstant, c) = konstanten, c E(X + c) = E(X) + c E(c·X) = c·E(X) V(c) = 0 V(X + c) = V(X) V(c·X) = c 2 ·V(X)

15 Exempel forts. Antag att det kostar 3 kr att tillverka en enhet. Y – tillverkningskostnad/dag Y = 3·X E(Y) = 12·0.1 + 18·0.3 + 24·0.4 + 30·0.2 = 22.2 E(Y) = E(3·X) = 3·E(X) = 3·7.4 = 22.2

16 Exempel forts. V(Y) = 12 2 ·0.1 + 18 2 ·0.3 + 24 2 ·0.4 + 30 2 ·0.2 = 29.16 V(Y) = V(3·X) = 3 2 ·V(X) = 3 2 ·3.24 = 29.16

17 Exempel forts. Antag vidare att det tillkommer en fast kostnad på 30 kr/dag. Z = Y + 30 = 3·X + 30 E(Z) = 42 2 ·0.1 + 48 2 ·0.3 + 54 2 ·0.4 + 60 2 ·0.2 = 52.2 E(Z) = E(Y + 30) = E(Y) + 30 = 22.2 + 30 = 52.2 V(Z) = 42 2 ·0.1 + 48 2 ·0.3 + 54 2 ·0.4 + 60 2 ·0.2 = 29.16 V(Z) = V(Y + 30) = V(Y) = 29.16

18 Flerdimensionella s.v Precis som för händelser så kan det vara intressant att studera två eller flera slumpvariabler (X och Y) samtidigt. X och Y är oberoende om P(X = x, Y = y) = P(X = x) ·P(Y = y)

19 Räkneregler E(X + Y) = E(X) + E(Y) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2·cov(X,Y) Cov betecknar kovariansen som är variationen mellan de två stokastiskavariablerna. Är X och Y oberoende så är cov(X,Y) = 0

20 Några diskreta fördelningar

21 Bernoullifördelningen sägs X vara en Bernoullifördelad slumpvariabel E(X) = 1·π + 0·(1 – π) = π V(X) = 1 2 · π + 0 2 ·(1 – π) – π 2 = π(1 – π) Ofta studerar man en följd av Bernoullifördelade slumpvariabler och får då en Binominalfördelning

22 Binomialfördelningen Studera n oberoende försök av samma slag. I Varje försök kan en viss händelse, A, inträffa eller utebli med sannolikheten π resp. (1 – π) Om X anger antalet försök där A inträffar sägs X vara en Binomialfördelad s.v.

23 Binomialfördelningen Sannolikhetsfunktionen för en Binomialfördelad s.v. ser ut som följer: där Skrivsätt: X ~Bin(n, π)

24 Exempel En viss typ av blomfrön uppges ha 40% Grobarhet. Vad kan vi förvänta oss om vi planterar 3 frön i en kruka? Låt X beteckna antalet groende frön. (Löses på tavlan)

25 Regler Binomialfördelningen Om följande är uppfyllt så X~Bin(n, π) Oberoende mellan utfallen Fixt antal händelser n Samma sannolikhet π att en händelse inträffar Endast två utfall (lyckas/misslyckas) Slumpvariabeln X betecknar antal lyckade utfall En tabell över Binomialfördelningen finns på s835-840 (tabell 5)

26 Lös övning 3

27 Hypergeometriskfördelning Betrakta en urna med N kulor varav r är vita. Drag slumpmässigt, utan återläggning, n kulor ur Urnan och låt X = antal vita kulor. X sägs då vara en hypergeometriskslumpvariabel med sannolikhetsfunktion.

28 Regler Hypergeometriskfördelning X~Hyp(n, N, π) Om N är stort i förhållande till n så kan man approximera med Binomialfördelningen (n/N).

29 Lös övning 4

30 Multinomial I en urna finns vita, röda och blå kulor. Drag n kulor med återläggning π 1 – sannolikhet vita kulor π 2 – sannolikhet röda kulor π 3 – sannolikhet blåa kulor π 1 + π 2 + π 3 =1, x 1 + x 2 + x 3 = n

31 Poissonfördelningen Låt X vara antalet händelser som inträffar i ett visst intervall. Då sägs X vara en Poissonfördelad s.v. med Sannolikhetsfunktion: där µ är det förväntade antalet händelser i ett sådant intervall. X~Po(µ) Finns tabeller i Appendix B tabell 6

32 Poissonfördelningen Används för att beskriva antalet enheter som kommer inom ett visst tidsintervall. Om X~Po(µ) E(X) = µ V(X) = µ

33 Lös övning 7