1 Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsare Dr. Gunnar Malm

2 Frågor från förra gången ?

3 Dagens föreläsning F14 Symbolisk matematik ‘för problemlösning’ i Matlab kap 7 EKM 1.Symboliska variabler 2.Symboliska uttryck 3.Symboliska ekvationer

4 Bra Matlab-kommandon ’...’ används för att definiera de symboliska uttrycken Sym() Syms Solve Simplify eller simple Poly2sym Diff (int)

5 Valda exempel Numerisk derivering från gammal tenta Ekvationssystem som uppstår vid dimesionsanalysen Sammansatt fel dvs Gauss formel Ytterligare en variant av MK- metoden

6 Numerisk derivering

7

8 Numerisk vs symbolisk Funktionen sin(x) kan även hanteras symboliskt >> diff('sin(x)') ans = cos(x)

9 Dimensionsanalys Vid dimensionanalys se föreläsning 2 uppstår ekvationssystem Repetera ett exempel och lös sedan systemet symboliskt

10 Dimensionsanalys Ställ upp ett uttryck Inför beteckningarna för dimensioner Förenkla T 1 L 0 M 0 =kM x L y (LT -2 ) z T1=-2z L0=y+z M0=x z=-1/2, y=1/2

11 Dimensionsanalys >> [v1 v2 v3]=solve('1=- 2*z','0=y+x','0=x') v1 = 0 v2 = 0 v3 = -1/2

12 Sammansatt fel med Gauss formel Repeterar först metoden Presenterar sedan hur den genomförs symboliskt

13 Exempel Gauss formel I vårt exempel är F restiden t, x vägsträckan s och y bilens hastighet v Dvs:

14 Exempel Gauss formel Vi kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 20 km/h Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SI- systemet för kommande beräkning?

15 Exempel Gauss formel Minsta värde16.7 min ’Medelvärde’25.7 min Största värde42 min

16 Alternativ metod Lägg ihop de relativa osäkerheterna

17 Exempel Gauss formel Finns två formler som är användbara om man är ’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan alltid! För en summa av potenser För en produkt av potenser Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar

18 Exempel Gauss formel Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade? SVAR: produkt av potenser

19 Hur kan Gauss formel användas För en ingenjör gäller att kraven på ’produkten’ måste uppfyllas Detta ska göras på ett sätt som är pålitligt och inte för komplicerat

20 Hur kan Gauss formel användas Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator) Värdet på L och C bestäms av kretsens layout och varierar något and MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel spacing is 5 MHz and raster is 200 kHz.

21 Hur kan Gauss formel användas Layout och kretsschema Spolar Kondensatorer

22 Hur kan Gauss formel användas Givna värden för frekvensen Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanal- separationen ska vara bara 5 MHz!

23 Symbolisk Gauss-formel syms F C L syms deltaF deltaC deltaL F=sym(1/sqrt(L*C)/2/pi) deltaF=sqrt((diff(F,C)*deltaC)^2+(diff(F,L)*deltaL)^2) subs(deltaF/F,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e- 12}) subs(deltaF,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e- 12}) syms deltaS deltaV syms s v F2=s/v deltaF2=sqrt((diff(F2,s)*deltaS)^2+(diff(F2,v)*deltaV)^2) pretty(ans) pretty(deltaF2)

24 Ekvationssystem från MK- metoden Linjärt ekvationssystem för a och b kan lösas efter Algebrakursen... Eller med symbolisk lösning...

25 Exempel på symbolisk lösning A och b – ges av ekvationer, inte siffror/värden

26 MK symbolisk matlab-kod syms a b x y linje=a+b*x mk=sum(y-linje) mk xdata=[ ]'; ydata=[ ]'; xdata ydata e1=sum(mk^2) e2=diff(e1,a) e3=diff(e1,b) e4=subs(e2,{x,y},{xdata,ydata}) e5=subs(e3,{x,y},{xdata,ydata}) e6=sum(e4) e7=sum(e5) [u v]=solve(e6,e7) double(u) double(v) plot(xdata,ydata,'r.')

27 Nästa föreläsning Repetion