Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik

Den Gyllene Kunskapstriangeln Själv-förtroende Intresse

Oväntade och vackra resultat väcker intresse….

Den magiska attraktorn 4 7 1 6 - 10 7614 6174 4 7 1 6 8 5 3 2 - 10 2358 6174

Den magiska attraktorn 6 7 1 4 2 - 10 6642 4 7 1 6 - 10 6174

Den magiska attraktorn 7218 3 4 7 8 2 1 - 10 6 9 3 7 4 - 10 4 6 2 9 3 - 10 6 7 1 4 2 - 10 4 7 1 6 - 10 6174

Den magiska attraktorn Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på! Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar! Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?

Den magiska attraktorn - historik 6174 Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar (1905-1986), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.

Den magiska attraktorns pedagogiska värde

Fibonaccis kaninproblem 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… = Fibonaccitalen http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml

Pentagon

Pentagon och det gyllene snittet Förhållandet mellan längden av en diagonal och en sida är det Gyllene snittet Upprepa proceduren i den inre (mindre) pentagonen och du får en ny femuddig stjärna (Självlikformighet)

Leonardo da Vinci - Nattvarden b

Gyllene snittet hos människan

En gyllene rektangel Höjden är sidan och basen diagonalen i en Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm

a b Gyllene snittet: sätt

Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

Räkneregler a b ba aa=a2 ab b2

”Snickartriangeln” 5 4 3 (9+16=25)

Pythagoras sats c a b

Finns det fler ”Snickartrianglar”? Ja tex: a = 5, b = 12, c = 13 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169) men även a = 99, b = 20, c = 101 (9801 + 400 = 10201)

Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar tex. alla tal av typen: a = m2 – n2 b = 2mn m > n c = m2 + n2 n = 1,2,… är snickartrianglar eftersom a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

Pythagoras sats Pythagoreerna ett hemligt sällskap. 525 fkr utforskade talens mystik Anekdoten säger att en av medlemmarna Hippasos dränktes när han kom på att roten ur två var irrationellt alltså inte på formen p\q där p,q är heltal

Ett ”vackert” bevis Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 ”Ytan av stora Kvadraten” (a + b)2 = c2 + 4(ab)/2 a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab a2 + b2 = c2

Fermats gåta Finns det heltal a, b, c som uppfyller a3 + b3 = c3 ? Svar: NEJ! Finns det heltal a, b, c som uppfyller a4 + b4 = c4 ? Svar: NEJ! osv….

Fermats gåta a, b, c som uppfyller an+ bn = cn P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han bevisat att det inte finns några heltal a, b, c som uppfyller an+ bn = cn för n = 3,4,5..osv Påståendet var sant men kunde bevisas först 1995 av A. Wiles

Lösning av spännande problem väcker intresse…

Födelsedagsproblemet Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag? 28

Födelsedagsproblemet n sannolikhet 23 50% 30 70% 41 90% 47 95% 57 99% För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer! 29

Lösning födelsedagsproblemet 30

Schackbrädesproblemet Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ? Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…) Schackbräde utan två hörn 31

Snabbräkning på Gauss vis C.F. Gauss (1777-1855) fick följande problem som 10-åring 32

Snabbräkning på Gauss vis Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050) 1 + 2 3 … 100 99 98 101 (100·101)/2 = 5050 33

Plattproblemet Exempel: N = 3 L = 11/12 N = 4 L = 25/24 Antal plattor = N Hur långt om N = 1 ? L = ½ Hur långt om N = 2 ? L = ½ + ¼ = ½ (1+½) . Hur långt om N är godtyckligt ? L = ½ (1+ ½ + 1/3 + … + 1/N) Exempel: N = 3 L = 11/12 N = 4 L = 25/24 N = 100 L ~ 2.6 N = 1000 L ~ 3.8

Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…

Von Kochs snöflingekurva Ett exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area. Area på snöflingan är 8/5 gånger så stor som bastriangelns area. Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n

Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd Mandelbrotmängden kan ses som ett register där varje punkt ger en Juliamängd.

Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd Den vanligaste Juliamängden fås ur den rekursiva ekvationen f(z) = z2 + c där z = en punkt i komplexa talplanet och c = är en punkt i Mandelbrotmängden Den franska matematikern Gaston Julia gjorde sin fundamentala upptäckt redan 1918. Benoît B. Mandelbrot upptäckte sin mängd först 1976. (Varje c i Mandelbrotmängden ger en Juliamängd).

Fler fraktaler…. Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

En resa in i Seahorse Valley…

Möbiusband Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje! Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop. 41

Möbiusband Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius (1790-1868). Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra. 42

Möbiusband …i tekniska tillämpningar

Möbiusband …i konsten ”Endless ribbon” av M. Bill 1935

Möbiusband …i konsten ”Immortality” av J. Robinson

Möbiusband …i konsten ”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover

Möbiusband …som frimärksmotiv

Referenser Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008 Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998 Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991 Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997 Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003 Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008 48

Referenser Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988 Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989 Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001 Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998 Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998 Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982 Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993

Den Gyllene Kunskapstriangeln Intresse Själv-förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!

Känd redan under Zhou-dynastin i Kina 1122-256 f.kr. Magisk kvadrat Känd redan under Zhou-dynastin i Kina 1122-256 f.kr. =”Mini-Sudoku” Placera talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 så att summan i varje rad, kolumn och diagonal = 15 51

52

Magisk Kvadrat Magiska kvadratens historia sträcker sig, enligt flera kinesiska legender, mer än 4 000 år tillbaka, till kejsaren Yu-Huangs tid. I dessa legender fick kejsaren en gång syn på den gudomliga sköldpaddan vid floden Los stränder. På sköldpaddans rygg fanns ett mönster av 3 x 3 rutor, och i rutorna fanns ett antal prickar som symboliserade talen 1 till 9. Summan var densamma på de tre raderna och i de tre kolumnerna och de två diagonalerna. Talen bildade en magisk kvadrat av tredje ordningen - Lo Shu. Det finns bara en möjlig lösning på en sådan kvadrat om man bortser från speglingar och rotationer. http://fof.se/main/hjarnbruk/01_1bruk2.htm 53

Sudoku - matematik Suuji wa dokushin ni kagiru ~ ”en siffra som måste förbli ensam” Su doku ”en ensam siffra” Sudoku 54

Sudoku - matematik New York 1979 (H. Garnes) Japan 1984 (Nikoli) 1997 – 2003 W Gould konstruerade ett datorprogram som genererade sodukun automatiskt Han publicerade ett Sodoku i The Times 12 november 2004! Då EXPLODERADE det! 55

Sudoku - matematik Hur hittar man sitt eget Sudoku? Svar: WEBBEN http://www.goobix.com/games/sudoku/ Hur många Sudokun finns det? Svar 1: Det finns 5 472 730 538 väsentligt olika slutkonfigurationer! Svar 2: Totalt finns det 6 670 903 752 021 072 936 960 Sudokun! Räknades ut 2005 av B. Felgenhauer 56

                         Sudoku - matematik Hur många rutor med siffror måste det minst finnas i ett Sudoku Svar: Man vet ej! Det minsta man hittills hittat är 17 57

”Färg” och Barn- Sudoku http://www.activityvillage.co.uk/ 58

Sudokus pedagogiska värde JA! ALLA kan träna systematiskt och logiskt tänkande (vilket vi gör för lite) utan att först kunna en massa matematik Varför inte en morgonsudoku som träning för hjärnan som komplement till kvällens joggingrunda 59

Referenser Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008 Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998 Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991 Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997 Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003 Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008 60

Referenser Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988 Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989 Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001 Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998 Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998 Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982 Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993

Den Gyllene Kunskapstriangeln Intresse Själv-förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!

Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik